Trigonalisierbare Matrix

Eine trigonalisierbare Matrix ist in der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Für eine trigonalisierbare Matrix $A$ existiert also eine reguläre Matrix $S$, sodass $D=S^{-1}AS$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Als trigonalisierbaren Endomorphismus bezeichnet man entsprechend einen Endomorphismus $f:V\to V$ über einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$, falls es eine Basis $B$ von $V$ gibt, sodass die Darstellungsmatrix $M_B(f)$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Die trigonalisierbaren Matrizen sind somit die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

Definition

Eine quadratische Matrix $A\in K^{n\times n}$ heißt trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das heißt, es existiert eine reguläre Matrix $S\in K^{n\times n}$, sodass $D:=S^{-1}AS$ eine obere Dreiecksmatrix ist, also sodass $D$ die Form

$D=S^{-1}AS=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ast \\ 0& \cdots & 0& {\lambda }_n\end{array}\right)\in K^{n\times n}$

hat, wobei ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\in K$ Eigenwerte von D sind.

Ein Endomorphismus $f:V\to V$ über einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis $B$ von $V$ gibt, sodass die Darstellungsmatrix $M_B(f)$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Kriterien für die Trigonalisierbarkeit

Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:

• Die Matrix $A$ ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Das heißt, es existieren eine obere Dreiecksmatrix $D$ und eine invertierbare Matrix $P$ mit $D=P^{-1}AP$.
• Das charakteristische Polynom der Matrix $A$ zerfällt über dem Körper $K$ in Linearfaktoren.
• Das Minimalpolynom der Matrix $A$ zerfällt über dem Körper $K$ in Linearfaktoren.
• Die Matrix $A$ besitzt über dem Körper $K$ eine Jordan-Normalform.

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über $ℂ$ trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Berechnung der oberen Dreiecksmatrix

Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix $D$ zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix $P$, mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:

$D=P^{-1}AP$

Des Weiteren haben $A$ und $D$ dieselben Eigenwerte.

Da das charakteristische Polynom von $A$ in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert ${\lambda }_1$ und einen zugehörigen Eigenvektor $v_1$. Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis $v_1,v_2,\dots ,v_n$ des $K^n$ ergänzt. Die Matrix $T_1$ sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis $v_1,v_2,\dots ,v_n$ zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich $T_1^{-1}A{T}_1$ berechnen und die Form

$T_1^{-1}A{T}_1=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& d_{1,2}& \cdots & d_{1,n}\\ 0& & & \\ ⋮& & A_1& \\ 0& & & \end{array}\right)$

Für das charakteristische Polynom der $(n-1)\times (n-1)$-Matrix $A_1$ gilt $p_A(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)p_{A_1}$. Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und $A_1$ ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man $A_{n-1}=d_{n,n}$ berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix $D$. Die Matrix $P$ ergibt sich als Produkt $T_1{T}_2\dots T_{n-1}$ der Basiswechselmatrizen.

Siehe auch

• Schur-Zerlegung ist ein Beispiel für ein Trigonalisierungsverfahren über $ℝ$ oder $ℂ$
• Diagonalisierbare Matrix

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 14. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.