Topologische Entropie

Die topologische Entropie ist eine Invariante, die die Komplexität dynamischer Systeme misst. Sie verallgemeinert den (maßtheoretischen) Begriff der Kolmogorow-Sinai-Entropie auf nicht notwendig maßerhaltende dynamische Systeme.

Die Entropie misst die Chaotizität eines dynamischen Systems. Man bezeichnet dynamische Systeme als chaotisch, wenn ihre Entropie positiv ist.

Definitionen

Sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $f:X\to X$ eine stetige Abbildung.

Definition nach Adler-Konheim-McAndrew

Die topologische Entropie $h(f)$ des durch Iteration von $f$ definierten dynamischen Systems wird wie folgt definiert.

Für eine endliche offene Überdeckung $𝒰$

$X=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{U}_i$

von $X$ durch offene Mengen $U_i$ bezeichnen wir mit

$H(𝒰)$

den Logarithmus der minimalen Anzahl von Mengen aus $𝒰$, die bereits ganz $X$ überdecken. Für zwei offene Überdeckungen $𝒰$ und $𝒱$ bezeichnen wir mit $𝒰\vee 𝒱$ die Überdeckung durch offene Mengen der Form

$U_i\cap V_j$ mit $U_i\in 𝒰,V_j\in 𝒱$.

Mit diesen Bezeichnungen wird die topologische Entropie von $f$ definiert als

$h(f)=\underset{𝒰}{\sup }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}H(𝒰\vee f^{-1}𝒰\vee \dots \vee f^{-n+1}𝒰)$,

wobei das Supremum über alle offenen Überdeckungen $𝒰$ genommen wird.

Metrische Definition nach Bowen und Dinaburg

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $f:X\to X$ wieder eine stetige Abbildung.

Für alle $n\in \mathbb{N}$ definieren wir eine neue Metrik durch

$d_n(x,y)=max\{d(f^k(x),f^k(y)):0\le k\le n-1\}$.

Für $ϵ>0$ sei

$N(d_n,ϵ)$

die maximale Kardinalität einer Menge $M\subset X$ mit $d_n(m,m^{\prime })\ge ϵ$ für alle $m=m^{\prime }\in M$.

Dann definieren wir die topologische Entropie von $f$ durch

$h(f)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{1}{n}\log N(d_n,ϵ)$.

Wenn $X$ ein kompakter metrischer Raum ist, dann stimmt diese Definition mit der von Adler-Konheim-McAndrew überein.

Beispiele

• Für eine Isometrie $f$ oder allgemeiner eine Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante $\le 1$ ist $h(f)=0$.
• Für eine logistische Abbildung $f(x)=\mu x(1-x)$ mit $\mu >2+\sqrt{5}$ ist $h(f)=\ln (2)$.
• Die topologische Entropie der Winkelverdopplungsabbildung ist $\ln (2)$.
• Die topologische Entropie der Shiftabbildung auf $k$ Symbolen ist $\ln (k)$.

Eigenschaften

• $h(f^k)=kh(f)$.
• Für einen Homöomorphismus ist $h(f^{-1})=h(f)$.
• $h(gf{g}^{-1})=h(f)$ für jeden Homöomorphismus $g$ und beliebige $f$.
• Die topologische Entropie hängt nur von der Topologie, nicht von der zugrundeliegenden Metrik ab.

Literatur

• Luis Barreira, Claudia Valls: Dynamical systems. An introduction. Translated from the 2012 Portuguese original. Universitext. Springer, London 2013, ISBN 978-1-4471-4834-0.
• R. L. Adler, A. G. Konheim, M. H. McAndrew: Topological entropy. In: Trans. Amer. Math. Soc. 114, 1965, S. 309–319.
• Rufus Bowen: Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces. In: Trans. Amer. Math. Soc. 153, 1971, S. 401–414.
• E. I. Dinaburg: A connection between various entropy characterizations of dynamical systems. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 35, 1971, S. 324–366. (russisch)