Theil-Index

Vorlage:Überarbeiten Der Theil-Index gehört zu der Klasse der Ungleichverteilungsmaße und wurde von dem Ökonometriker Henri Theil entwickelt. Er dient der statistischen Beschreibung von Einkommens- und Vermögensverteilungen.

Der Theil-Index kann zur Beschreibung der Ungleichheit innerhalb und zwischen Gruppen zerlegt werden. Diese Zerlegbarkeit ist ein wichtiger Unterschied zu dem Gini-Koeffizient, einem populäreren Ungleichheitsmaß.

Definition

Für $n$ Personen mit Einkommen $y_1,\dots ,y_n$ ist das Durchschnittseinkommen $\mu =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i$ und es werden Theil-Indizes $T_L,T_T,T_S$ unter der Konvention $0\cdot \ln 0=0$ wie folgt definiert:

$T_T=T_{\alpha =1}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\frac{y_i}{\mu }\cdot \ln \frac{y_i}{\mu })$

$T_L=T_{\alpha =0}=MLD=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\ln \frac{\mu }{y_i})$

$T_S=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[\frac{1}{2}(\frac{y_i}{\mu }-1)\ln (y_i)]$

MLD steht hierbei für mean log deviation. Es gelten dabei die Beziehungen

$T_L(y)=T_T\left(\frac{1}{y}\right)$

$T_S=\frac{T_T+T_L}{2}$

$0\le T_L$

$T_L=0\iff T_T=0\iff T_S=0\iff y_i=\mu \text{für alle }i$

$T_T=\ln (n)\iff y_i=n\mu \text{für ein }i$

$T_S(y)=T_S\left(\frac{1}{y}\right)$

Beziehungen/Ableitungen

Claude Shannon entwickelte sein Entropie-Maß aus der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses. Theil leitete seinen Index daraus ab. Der Theil-Index kann als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden, mit der ein von einer Bevölkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt. Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck: Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen.

Ist $S$ das Shannons-Maß, so gilt

$T=\ln (N)-S$.

$e^T$ ist ein Gleichverteilungsmaß, mit dazugehörigem Ungleichverteilungsmaß $(1-e^T)$.

Zerlegbarkeit

Der Theil-Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen. So kann damit zum Beispiel die Ungleichverteilung in Deutschland aus den Ungleichverteilungen in den Ländern berechnet werden.

Wenn die Bevölkerung in $m$ Untergruppen aufgeteilt werden kann und $s_k$ der Einkommensanteil einer Untergruppe $k$ am Gesamteinkommen ist, dann beschreibt $T_k$ die Ungleichverteilung in der Untergruppe und ${\bar{x}}_k$ ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe $k$. Der Theil-Index $T_k$ ist dann

$T=\sum _{k=1}^m{s}_k{T}_k+\sum _{k=1}^m{s}_k\ln \frac{{\bar{x}}_k}{\bar{x}}$.

So beschrieben, ist der Theil-Index $T_k$ dann der „Beitrag“ der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe.

Literatur

• Henri Theil: The Information Approach to Demand Analysis. In: Econometrica. Vol. 33, Nr. 1, Januar 1965, Vorlage:ISSN, S. 67–87 (Vorlage:JSTOR)

Weblinks

• Pedro Conceição, Pedro Ferreira: The Young Person’s Guide to the Theil Index: Suggesting Intuitive Interpretations and Exploring Analytical Applications. (PDF; 1,4 MB). UTIP Working Paper Number 14, Februar 2000.
• University of Texas Inequality Project. Tutorials mit Schwerpunkt auf dem Theil Index (englisch).