Testwiki:Auskunft/Archiv/2007/Woche 02

Grundlagen der Mikroökonomie, Nachfrage mittels Nutzen bestimmen

Gegeben ist eine Nutzenfunktion u(x1,x2)=x1 + x2 (die Güter sind perfekte Substitute).

• Wie sieht das Haushaltsoptimum aus?
• Wie sehen die Nachfragefunktionen des Ko-- Doc Sleeve 13:28, 13. Jan. 2007 (CET)nsumenten aus?

-- Doc Sleeve 13:28, 13. Jan. 2007 (CET) Bisher habe ich erkannt: für perfekte Substitute haben-- Doc Sleeve 13:28, 13. Jan. 2007 (CET) wir den einfachsten Fall, anstatt a*x1+b*x2 haben wir a=b=1. Haushaltsoptimum ist anschaulich-- Doc Sleeve 13:28, 13. Jan. 2007 (CET), Schnittpunkt zwischen Bugetgerade und Indifferenzkurve in einem Tangentialpunkt. Eine konkrete Bugetrestriktion haben wir nicht, also nehme ich p1*x1+p2*x2=m an. -- Doc Sleeve 13:28, 13. Jan. 2007 (CET) Die Bedingung ist wie immer: $\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{p_1}{p_2}$ Im Optimum ist die Grenzrate der Substitution $\frac{d{x}_2}{d{x}_1}$ gleich dem negativen Preisverhältnis $\frac{p_1}{p_2}$

Für eine andere Funktion (Cobb-Douglas) $u(x_1,x_2)=x_1\cdot x_2$ würde das auch Sinn ergeben: $\frac{p_1}{p_2}=\frac{\frac{\partial u}{\partial x_1}}{\frac{\partial u}{\partial x_2}}=\frac{x_2}{x_1}$.

Für meine Nutzenfunktion perfekter Substitute hieße das aber: $\frac{p_1}{p_2}=\frac{1}{1}$

Ansätze fand ich bisher bei der Uni Passau (S. 6-11) und der Uni Leipzig (S. 59)

Wenn beide Preise gleich sind und ich das einsetze, erhalte ich: p*x1 + p*x2 = m wird zu x1 = m/p -x2 und x2 = m/p -x1. Ist das wirklich eine Lösung? Dankbar für jede Idee, --WissensDürster 13:22, 15. Aug. 2011 (CEST)

hoi, das ergebnis 1 = p1 / p2 ist an sich völlig korrekt, das liefert dir die einzige sinnige lösung dieses optimierungsverfahrens. anschaulich ist aber sofort klar, worin hier das problem besteht. denn weil ja auch die indifferenzkurve hier eine gerade ist, sind die steigungen der budgetgerade und der indifferenzkurve genau dann identisch, wenn p1=p2. das bekommst du ja auch in deiner rechnung raus. nur wenn du dir überlegst, was du da berechnest, wird klar, dass das nicht alles sein kann. wenn p1>p2, ist im x1x2-diagramm die indifferenzkurve flacher als die budgetgerade - das optimum wird also ein punkt auf der x2-achse sein (keinerlei nachfrage nach x1). diesen fall (ebenso wie den umgekehrten mit p1<p2) blendest du durch die gleichsetzung der steigungen vollkommen aus, weil die steigungen im optimum gar nicht identisch sind (das verfahren taugt nicht für randlösungen). das von dir verwendete verfahren liefert aber p1=p2 tatsächlich das nutzenoptimale bündel für x1: x1 = m/p -x2. warum? weil die nachfrage nach x1 sich aus genau dem zusammensetzt was möglich wäre, wenn man nur x1 kauft (nämlich m/p) abzüglich dem, was du in x2 steckst -- wie viel aber in x2 gesteckt wird, ist an sich völlig unbestimmt (solange x2≤m/p), schließlich ist wegen gleichheit des nutzens und des preises in diesem fall vollkommen egal, wieviel du von welchem kaufst. klarer? —Pill (Kontakt) 14:01, 15. Aug. 2011 (CEST)

Bei perfekten Substituten entscheidet ja nur noch der Preis (da die Güter sich ja nutzenmäßig nicht unterscheiden und wie ein gleichförmiges Gut behandelt werden können), bei genügendem Angebot wird dann nur das billigere Gut konsumiert, das teurere fällt unter den Tisch. Wenn beide Preise gleich sind, ist die Betrachtung dann vollends unsinnig, denn dann haben wir sozusagen nur noch ein Gut zu einem Preis, da gibt es kein Optimum in diesem Sinne. --FA2010 14:03, 15. Aug. 2011 (CEST)

Leider nicht viel klarer :/ kann mir schon nicht vorstellen, wieso bei p1=p2 die Steigungen immer identisch sind... Mit den Randlösungen meinst du, die könne ich so nicht rausbekommen, aber sie interessieren eh nicht?! Die Leipzig-Quelle gibt als Randlösungen x2=m/p2 und x1=m/p1 an und unterscheidet 3 Fälle durch das Preisverhältnis zum Verhältnis der Koeffizienten. Das hieße ja dann, dass nur die Randlösungen korrekt wären? --WissensDürster 16:07, 15. Aug. 2011 (CEST)

Jein, die beiden Randlösungen sind korrekt, aber es gibt eben noch eine dritte für p1=p2. Lass doch mal die Mathematik weg und denk ganz real in Waren und Geld. Die Nutzenfunktion bedeutet, dass es Du Milka- und Ritter-Sport-Schokolade genau gleich gut findest und dir völlig egal ist, welche davon Du kaufst. Dein Budget sei 100 Euro. Dann sieht das ganze folgendermaßen aus:

• Wenn Milka 1,50 Euro kostet und Ritter-Sport 1 Euro, kaufst Du von den 100 Euro 100 Ritter-Sport und 0 Milka.
• Umgekehrt genauso. – Das sind die beiden Randlösungen.
• Wenn die beiden gleich teuer sind, kann man nichts über das vermutliche Konsumentenverhalten sagen. Die "Indifferenzkurve" ist ja keine, an die Du tangential die Budgetrestriktion anlegen könntest, sondern die Kurve ist ja nur eine einfach Gerade mit 45° Steigung, die genauso aussieht wie die Budgetrestriktion (die ja auch immer 45° Steigung hat, 1 Euro ist nurn mal 1 Euro). Die beiden Geraden liegen übereinander, und daher hast Du für diesen Fall unendlich viele Lösungen auf der Gerade. Es ist ja egal, ob du für 1 Euro pro Tafel 100 Tafeln Milka oder 100 Tafeln Rittersport oder 30/70 oder 50/50 oder sonstwas kaufst. --FA2010 20:44, 15. Aug. 2011 (CEST)

doch, die randlösungen interessieren (randlösungen heißen sie deshalb, weil sie "extreme" güterbündel liefern, d.h. solche, bei denen ein güterbündel gar nicht erst konsumiert wird, im gegensatz zu "inneren lösungen", wo das optimum irgendeine güterkombination ist). die von dir genannte bedingung GRS = -p1/p2 (grafisch: steigung der indifferenzkurve = steigung der budgetgerade) ist ein verfahren zur bestimmung innerer lösungen (anschauliches beispiel: [1]). aber nimm mal an, dass die indifferenzkurve nicht mehr so schön kurvig sondern eine gerade ist. das ist hier nämlich der fall, und das hast du ja selbst ausgerechnet, indem du die grenzrate der subtitution (=1) berechnet hast. wenn wir also unser verfahren zur bestimmung einer inneren lösung anwenden und wie oben geschrieben die steigungen von budgetgerade und indifferenzkurve gleichsetzen, muss die steigung der budgerade ja auch -1 betragen, damit wir eine lösung finden. und da die budgetgerade nun einmal die steigung -p1/p2 hat, muss dann auch p1=p2 sein. um jetzt wieder in die grafik zu springen: wenn die bedingung für ein inneres optimum erfüllt ist, sind budgetgerade und indifferenzkurve parallel. und da wir ja bei der suche nach dem optimalen güterbündel immer auf die höchste indifferenzkurve wollen, auf der es gerade noch einen punkt gibt, der im budget liegt, suchen wir auch hier die höchst mögliche indifferenzkurve. weil es sich aber um geraden mit identischer steigung handelt, fallen diese im optimum komplett zusammen. mit anderen worten: bei p1=p2 ist jede beliebige kombination aus x1 und x2 nutzenoptimal, solange das budget voll ausgeschöpft ist.
bloß liefert das hier ein unvollständiges bild, weil die randlösungen ignoriert werden. sobald p1 und p2 unterschiedlich sind, liefert die gleichsetzung ja überhaupt keine lösung mehr. die indifferenzkurve hat zwar immer noch die steigung -1, aber -p1/p2 kann dann unmöglich auch -1 sein. und dann kommt eben die randlösung ins spiel, die man übrigens schon (und zwar noch viel leichter) berechnen kann. und weil google absolut nichts sinnvolles finden will, hier eine kurze back-of-the-envelope-zeichnung dazu: [2] (ein bild sagt mehr als tausend worte ...). vielleicht erschließen sich hiermit die (korrekten) lösungen der "leipzig-quelle". grüße, —Pill (Kontakt) 22:18, 15. Aug. 2011 (CEST)