Taylorverfahren

Das Taylorverfahren ist ein Einschrittverfahren in der Numerik. Es ist ein Weg zur Konstruktion von Differenzformeln höherer Ordnung über die Taylor-Entwicklung.

Herleitung

Ausgehend von einer Anfangswertaufgabe (AWA) der Form: $u^{\prime }(t)=f(t,u(t)),u(t_0)=u_0$ und der Taylor-Formel wird der skalare Fall $d=1$ betrachtet.

$u(t)=\sum _{r=0}^R\frac{h^r}{r!}{u}^{(r)}(t-h)+\frac{h^{(R+1)}}{(R+1)!}{u}^{(R+1)}(\xi ),\xi \in [t-h,t]$

Da $u$ der Differentialgleichung $u^{\prime }=f(t,u(t))$ genügt, gilt

$u^{(r)}(t)={\left(\begin{array}{c}d\\ dt\end{array}\right)}^{r-1}f(t,u(t))=:f^{r-1}(t,u(t))$

Die $R$-stufigen Taylorverfahren lauten dann

$y_n=y_{n-1}+h_n\sum _{r=1}^R\frac{h_n^{r-1}}{r!}{f}^{(r-1)}(t_{n-1},y_{n-1}),n\ge 1$

Das Taylorverfahren hat gerade die Konsistenzordnung (Numerik) $m=R$

Numerische Stabilität

Wir wenden auf das Verfahren die Testgleichung an: $y_n=y_{n-1}+h\sum _{r=1}^R\frac{h_n^{r-1}}{r!}{f}^{(r-1)}(t_{n-1},y_{n-1})\underset{u^{\prime }=\lambda u}{=}{y}_{n-1}+h\sum _{r=1}^R\frac{h_n^{r-1}}{r!}{\lambda }^{(r)}{y}_{n-1}=y_{n-1}(1+\sum _{r=1}^R\frac{h_n^r}{r!}{\lambda }^{(r)}$

Der Verstärkungsfaktor ist demnach $\omega =\sum _{r=0}^R\frac{(\lambda h{)}^r}{r!}$