Tate-Vermutung

In der Mathematik ist die Tate-Vermutung ein 1983 von Gerd Faltings bewiesener Lehrsatz der arithmetischen Geometrie, der 1963 von John Tate vermutet worden war.

Der Beweis der Tate-Vermutung war Teil des Beweises der Schafarewitsch-Vermutung, aus der wiederum die Mordell-Vermutung folgt. Die Schafarewitsch-Vermutung besagt, dass es für eine endliche Menge $S$ von Primidealen in einem Zahlkörper nur endlich viele Isomorphieklassen von Kurven gegebenen Geschlechts mit guter Reduktion außerhalb $S$ gibt. Wegen des Prinzips beschränkter Höhe genügt es dafür, die Beschränktheit der Höhen der zu den Kurven assoziierten Jacobi-Varietäten zu zeigen. Mit der Tate-Vermutung kann man das auf den Fall zurückführen, dass die Jacobi-Varietäten alle isogen sind.

Tate-Vermutung

Sei $X$ eine abelsche Varietät über einem Zahlkörper $k$ und $V_l(X)$ ihr Tate-Modul tensoriert mit ${\mathbb{Q}}_l$ für eine Primzahl $l$. Dann ist die natürliche Abbildung

$\mathrm{End}(X)\otimes {\mathbb{Q}}_l\to \mathrm{End}(V_l(X){)}^{\mathrm{Gal}(\bar{k}/k)}$

ein Isomorphismus.

Verallgemeinerung

Die allgemeinere, noch unbewiesene Version der Tate-Vermutung besagt, dass die Zykelklassenabbildung

$A^r(X)\otimes {\mathbb{Q}}_l\to H^{2r}(\bar{X},{\mathbb{Q}}_l{)}^{Gal(\bar{k}/k)}$

für alle $r$ ein Isomorphismus ist. Der von Faltings bewiesene Fall entspricht $r=1$. Aus der allgemeinen Vermutung folgt die Hodge-Vermutung für abelsche Varietäten.

Literatur

• J. Tate: Endomorphisms of Abelian varieties over finite fields. Invent. Math. 2, 134–144 (1966).
• G. Faltings: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Invent. Math. 73, 349–366 (1983); Erratum ibid. 75, 381 (1984).