Tate-Shafarevich-Gruppe

In der Mathematik misst die Tate-Shafarevich-Gruppe das Scheitern des Lokal-Global-Prinzips für elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten.

Für eine über einem Zahlkörper $K$ definierte abelsche Varietät $A$ wird die Tate-Shafarevich-Gruppe mit Ш(K,A) (gesprochen: Scha) bezeichnet.

Die Tate-Shafarevich-Gruppe ist eine abelsche Torsionsgruppe. Die auf John T. Tate und Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch zurückgehende Tate-Shafarevich-Vermutung besagt, dass Ш(K,A) endlich ist.

Scheitern des Lokal-Global-Prinzips

Für quadratische Formen gilt das Lokal-Global-Prinzip: Wenn eine über den rationalen Zahlen definierte quadratische Form $Q$ Lösungen von $Q(x_1,\dots ,x_n)=0$ in allen $p$-adischen Vervollständigungen (einschließlich der reellen Zahlen für $p=\mathrm{\infty }$) hat, dann hat sie auch Lösungen in den rationalen Zahlen. Dies gilt allgemeiner auch für Zahlkörper $K$ und ihre Vervollständigungen $K_v$: Wenn es Lösungen in allen Vervollständigungen gibt, dann gibt es Lösungen in $K$.

Für elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten gilt dieses Prinzip nicht.

Weil sich $K$-rationale Punkte auf einer abelschen Varietät $A$ durch die Kohomologiegruppe $H^1(K,A)$ beschreiben lassen, entspricht das Scheitern des Lokal-Global-Prinzips der Nicht-Injektivität von $H^1(K,A)\to {\mathrm{\Pi }}_v{H}^1(K_v,A)$, wobei das Produkt über alle Vervollständigungen $K_v$ gebildet wird. Man definiert deshalb die Tate-Shafarevich-Gruppe als

$\text{Ш}(K,A)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(H^1(K,A)\to {\mathrm{\Pi }}_v{H}^1(K_v,A))$.

Literatur

• Serge Lang, John Tate: Principal homogeneous spaces over abelian varieties, American Journal of Mathematics, 80 (3): 659–684, 1958
• Igor Shafarewitsch: The group of principal homogeneous algebraic manifolds, Doklady Akademii Nauk SSSR (russisch), 124: 42–43, 1959