Tarski-Gruppe

Tarski-Gruppen, benannt nach Alfred Tarski, werden im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie untersucht, es handelt sich um unendliche Gruppen mit einer Bedingung an ihre Untergruppen. Manche Autoren sprechen auch von Tarski-Monstergruppen oder, nach ihrem Entdecker A. J. Olschanski, von Olschanski-Gruppen.

Definition

Eine Gruppe $G$ heißt Tarski-Gruppe, wenn gilt:

• $G$ ist unendlich,
• jede echte, nicht-triviale Untergruppe ist endlich von Primzahl-Ordnung.

Eine Gruppe $G$ heißt erweiterte Tarski-Gruppe, wenn es einen Normalteiler $N\subset G$ gibt, so dass gilt:

• Die Quotientengruppe $G/N$ ist eine Tarski-Gruppe,
• $N$ ist zyklisch von Primzahlpotenz-Ordnung > 1,
• für jede Untergruppe $H\subset G$ gilt $H\subset N$ oder $N\subset H$.

Historische Bemerkungen

Die Struktur des Untergruppenverbandes einer Tarski-Gruppe

Alfred Tarski hatte die Frage aufgeworfen, ob es unendliche Gruppen gibt, deren Untergruppenverband die Höhe 2 hat, das heißt wie nebenstehend aussieht. Die Existenz solcher Gruppen war lange unklar, schließlich zeigte Olschanski im Jahre 1979, dass es zu Primzahlen $p>10^{75}$ p-Gruppen dieser Art gibt. Damit waren gleichzeitig weitere Gegenbeispiele zum beschränkten Burnside-Problem gefunden, das die Frage stellt, ob endlich erzeugte Gruppen mit einem endlichen Gruppenexponenten schon endlich sein müssen. Da Tarski-Gruppen von zwei Elementen erzeugt sind (siehe unten), hat man mit ihnen weitere Gegenbeispiele der gewünschten Art. Ferner folgt, dass es zu $p=2$ und $p=3$ keine Tarski-$p$-Gruppen geben kann, denn sonst müssten die Burnside-Gruppen $B(2,2)$ bzw. $B(2,3)$ unendlich sein, was nicht der Fall ist.

Die Struktur des Untergruppenverbandes einer erweiterten Tarski-Gruppe

Untergruppenverband

Da je zwei verschiedene, echte Untergruppen $U$ und $V$ einer Tarski-Gruppe Primzahlordnung haben, muss ihr Durchschnitt $U\cap V$ trivial sein. Die von ihnen erzeugte Untergruppe $⟨U\cup V⟩$ muss mit der Gesamtgruppe übereinstimmen, da anderenfalls $⟨U\cup V⟩$ von Primzahlordnung wäre und $U$ und $V$ enthalten müsste, was zu $U=⟨U\cup V⟩=V$ führte. Daher bilden die echten, nicht-trivialen Untergruppen einer Tarski-Gruppe eine Antikette.

Die Struktur des Untergruppenverbandes von Tarski-Gruppen und erweiterten Tarski-Gruppen sieht damit wie in nebenstehenden Skizzen aus, insbesondere handelt es sich um M-Gruppen.

Da Tarski-Gruppen nach Obigem von zwei Elementen erzeugt sind und daher erweiterte Tarski-Gruppen endlich erzeugt sind, können sie nicht lokalendlich sein. (Gruppen heißen lokal endlich, wenn jede endlich erzeugte Untergruppe endlich ist.)

Umgekehrt treten Tarski-Gruppen in unendlichen, von zwei Elementen erzeugten M-Gruppen wie folgt auf:

Es seien $G$ eine M-Gruppe und $x,y\in G$ zwei Elemente von Primzahlpotenz-Ordnung. Das Erzeugnis $H:=⟨x,y⟩$ dieser beiden Elemente sei unendlich. Dann gilt:

• Ist $⟨x⟩\cap ⟨y⟩=\{1\}$, so ist $H$ eine Tarski-Gruppe.
• Ist $⟨x⟩\cap ⟨y⟩=\{1\}$, so ist $H$ eine erweiterte Tarski-Gruppe.

Torsionsgruppen

Es ist klar, dass Tarski-Gruppen Torsionsgruppen sind, denn ist $x$ Element einer Tarski-Gruppe $G$, so ist die von $x$ erzeugte Untergruppe $⟨x⟩=\{x^n\mid n\in \mathbb{Z}\}$ eine echte Untergruppe, andernfalls wäre $G$ zyklisch, also isomorph zu $\mathbb{Z}$, aber $\mathbb{Z}$ ist keine Tarski-Gruppe. Als echte Untergruppe einer Tarski-Gruppe muss $⟨x⟩$ endlich sein, das heißt, $G$ ist eine Torsionsgruppe. Daraus erhält man leicht, dass auch erweiterte Tarski-Gruppen Torsionsgruppen sind. Bei der Beschreibung des Untergruppenverbandes wurde bereits festgestellt, dass es sich um M-Gruppen handelt.

Umgekehrt treten Tarski-Gruppen und erweiterte Tarski-Gruppen nach einem Satz von R. Schmidt wie folgt als Bestandteile solcher Gruppen auf:

Eine Torsionsgruppe ist genau dann eine M-Gruppe, wenn sie das direkte Produkt von

• Tarski-Gruppen,
• erweiterten Tarski-Gruppen
• und einer lokalendlichen Gruppe,

ist, so dass je zwei Elemente aus verschiedenen direkten Faktoren teilerfremde Ordnungen haben.

Einfachheit

Tarski-Gruppen sind einfach. Sei nämlich $N$ ein nicht-trivialer Normalteiler der Tarski-Gruppe $G$. Dann ist $N$ endlich und daher $G/N$ unendlich. Ein vom Einselement verschiedenes Element in $G/N$ hat endliche Ordnung und erzeugt daher eine echte, nicht-triviale Untergruppe in $G/N$. Ihr Urbild unter der Quotientenabbildung ist dann eine Untergruppe, die echt zwischen $N$ und $G$ liegt. Diese muss endlich von Primzahlordnung sein und mit $N$ eine echte Untergruppe enthalten. Dieser Widerspruch zeigt, dass $N$ kein Normalteiler sein kann, das heißt, $G$ ist einfach.