Symmetrisches Lanczos-Verfahren

In der numerischen Mathematik ist das symmetrische Lanczos-Verfahren ein Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen für symmetrische oder hermitesche Matrizen. Es stellt sowohl einen Spezialfall des unsymmetrischen Lanczos-Verfahrens, als auch des Arnoldi-Verfahrens dar.

Der Algorithmus

Es sei eine hermitesche Matrix $A\in {ℂ}^{n\times n}$ und ein beliebiger Startvektor $r_0\in {ℂ}^n$ ungleich Null gegeben. Dann erstellt der folgende Algorithmus eine Orthonormalbasis $q_1,..,q_k$ des Krylow-Unterraums $𝒦=𝒦(A,r_0)$. Diese kann dann zur Berechnung von Eigenwerten oder der Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt werden.

1. Setze $q_0=0$
2. for $k=1,..,n$ do
3. ${\beta }_{k-1}=\Vert r_{k-1}\Vert$
4. $q_k=r_{k-1}/{\beta }_{k-1}$
5. $r_k=A{q}_k$
6. ${\alpha }_k=⟨q_k,r_k⟩$
7. $r_k=r_k-{\alpha }_k{q}_k-{\beta }_{k-1}{q}_{k-1}$
8. end for

Literatur

• Andreas Meister, Christof Vömel: Numerik linearer Gleichungssysteme. Eine Einführung in moderne Verfahren. 2. Aufl. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-13135-7.