Symmetrische monoidale Kategorie

In der Mathematik ist eine symmetrische monoidale Kategorie eine monoidale Kategorie (d. h. eine Kategorie, in der ein "Tensorprodukt" $\otimes$ definiert ist), deren Tensorprodukt symmetrisch ist (d. h. man hat einen natürlichen Isomorphismus zwischen $A\otimes B$ und $B\otimes A$ für alle Objekte $A$ und $B$).

Ein typisches Beispiele ist die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper.

Definition

Es sei $(𝒞,\otimes ,I)$ eine monoidale Kategorie mit Assoziativitätsisomorphismus $a$ sowie linken und rechten Einheitsisomorphismen $l$ bzw. $r$. Die monoidale Kategorie heißt symmetrisch, wenn es zu je zwei Objekten $A,B$ aus $𝒞$ einen Isomorphismus

$s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A$

gibt, der natürlich in $A$ und $B$ ist, so dass die folgenden Diagramme kommutieren:

• Kompatibilität mit dem Einheitsobjekt:

• Kompatibilität mit dem Assoziativgesetz:

• Umkehrregel:

Beispiele symmetrischer monoidaler Kategorien

• Die Kategorie der Mengen mit dem Mengenprodukt als Tensorprodukt und einer einelementigen Menge als Einheitsobjekt.
• Die Kategorie der topologischen Räume mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und einem einelementigen Raum als Einheitsobjekt.
• Die Kategorie der Gruppen mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und der trivialen Gruppe als Einheitsobjekt.
• Die Kategorie der Ringe mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und dem Nullring als Einheitsobjekt.
• Die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper mit der direkten Summe als Tensorprodukt und dem Nullvektorraum als Einheitsobjekt.
• Die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper $K$ mit dem Tensorprodukt von Vektorräumen als Tensorprodukt und dem eindimensionalen Raum $K^1$ als Einheitsobjekt.
• Für eine gegebene Gruppe $G$ die Kategorie der Darstellungen von $G$ über einem gegebenen Körper mit dem Tensorprodukt von Darstellungen als Tensorprodukt und der trivialen Darstellung als Einheitsobjekt.

Weblinks

• symmetric monoidal category (nLab)