Supereffizienter Schätzer

Vorlage:Belege Bei supereffizienten Schätzern handelt es sich um besondere Punktschätzer aus der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Die Besonderheit liegt darin, dass sie die Cramér-Rao-Schranke überall unterschreiten. Ein supereffizienter Schätzer besitzt daher einen echt geringeren mittleren quadratischen Schätzfehler als alle regulären und erwartungstreuen Schätzer, die bei der Cramér-Rao-Ungleichung betrachtet werden. Der bekannteste Vertreter supereffizienter Schätzer ist der James-Stein-Schätzer.

Mathematische Definition

Gegeben sei ein d-parametriges statistisches Modell $(𝒳,𝒜,(P_{\vartheta }{)}_{\vartheta \in \mathrm{\Theta }})$ mit dominierendem Maß $\mu$. Die Fisher-Informationsmatrix $I(\vartheta )$ existiert und ist invertierbar. Diese Rahmenannahmen sind notwendig, da supereffiziente Schätzer nur Sinn ergeben, wenn die rechte Seite der Cramér-Rao-Ungleichung existiert.

Ein Schätzer $T:𝒳\to {ℝ}^d$ für den Parameter $\vartheta \in \mathrm{\Theta }\subset {ℝ}^d$ heißt supereffizient, falls für alle $\vartheta$ gilt:

${\mathrm{E}}_{\vartheta }[\Vert T-\vartheta {\Vert }^2]<\mathrm{Spur}(I(\vartheta {)}^{-1})$

Dabei handelt es sich bei $\mathrm{Spur}$ um die Spurbildung einer Matrix.

Existenz

Mittels der Van-Trees-Ungleichung lässt sich beweisen, dass supereffizente Schätzer für ein- oder zweiparametrige Modelle nicht existieren. Die Existenz für höherparametrige Modelle zeigt der eingangs erwähnte James-Stein-Schätzer.