Subnormale

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Graphische Darstellung einer Subnormalen (gelbe Strecke)

Die Subnormale ist ein Begriff aus der Analysis. Ist eine Kurve differenzierbar in einer Stelle $x_0$, so ist die Subnormale die Strecke zwischen der Stelle $x_0$ auf der Abszisse und der Nullstelle der Normalen. In der nebenstehenden Abbildung ist die betrachtete Kurve rot und die Normale in $x_0$ grün dargestellt. Die Projektion der Normalen auf die Abszisse heißt Subnormale (gelb).

Über die Gleichung der Normalen

$n(x)=\frac{-1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0)+f(x_0)$

gelangt man zur Nullstelle $x_s=f(x_0)\cdot f^{\prime }(x_0)+x_0$ und somit zur Subnormalen $|f(x_0)\cdot f^{\prime }(x_0)|$.

Der Betrag der Subnormalen der $e$-Funktion $f(x)=e^x$ ist für alle Normalen $e^{2x}$, da gilt:

$|f(x_0)\cdot f^{\prime }(x_0)|=|e^{x_0}\cdot e^{x_0}|=e^{2x_0}$.

Bei Parabeln, die zur $x$-Achse symmetrisch sind, hat die Subnormale an allen Stellen $x_0$ dieselbe Länge. Mit der Funktionsgleichung

$f(x)=\pm \sqrt{2a(x-c)}$,

wobei $a\ne 0$ und $c$ feste Parameter sind, ergibt sich die Länge $|f(x_0)\cdot f^{\prime }(x_0)|=|a|$.

Als Analogie zur Tangente gibt es die Subtangente.

Literatur

• Guido Walz: Lexikon der Mathematik – Band 5. Springer, 2. Auflage 2017, ISBN 978-3-662-53505-9, S. 142 (online auf spektrum.de)