Stumpfer Winkel

Ein Winkel $\alpha$ heißt stumpf, falls gilt:

• $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ (im Gradmaß) bzw.
• $\pi /2<\alpha <\pi$ (im Bogenmaß).

In der linearen Algebra heißt eine Familie von Vektoren stumpfwinklig, falls der Winkel zwischen je zwei dieser (verschiedenen) Vektoren stumpf ist. Die formale Definition lautet wie folgt:

Sei $S=\{v_1,v_2,...,v_k\}\subset {ℝ}^n$ eine Familie von Vektoren und $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ das Standardskalarprodukt auf ${ℝ}^n$. Dann heißt S stumpfwinklig, falls gilt $⟨v_i,v_j⟩<0$, für $1\le i<j\le k$.

Es lässt sich zeigen, dass eine stumpfwinklige Familie im ${ℝ}^n$ höchstens $n+1$ Vektoren enthalten kann.

Liegt eine symmetrische Konfiguration von $n+1$ Vektoren im ${ℝ}^n$ vor, so gilt für den Winkel $\phi$ zwischen je zwei (verschiedenen) Vektoren: $\phi =\arccos (-\frac{1}{n})$.

Im Fall $n=3$ beispielsweise beschreibt eine symmetrische Konfiguration von vier Vektoren gleicher Länge ein reguläres Tetraeder. Daraus erhält man direkt den Tetraederwinkel $\tau =\arccos (-\frac{1}{3})\approx 109,47^{\circ }$.

Siehe auch

• Arten von Winkeln