Stieltjes-Konstanten

Die Stieltjes-Konstanten ${\gamma }_n$ sind eine Folge reeller Zahlen, die durch den Grenzwert

${\gamma }_n:=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^N\frac{(\log k{)}^n}{k}-\frac{(\log N{)}^{n+1}}{n+1}),n=0,1,2,\dots$

definiert sind, wobei ${\gamma }_0$ die Eulersche Konstante $\gamma$ ist. Es wird vermutet, dass die ${\gamma }_n$ irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{\gamma }_n}{n!}(s-1{)}^n$

und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(\log x{)}^2}{e^x+1}\mathrm{d}x=(\log 2)(\frac{1}{3}(\log 2{)}^2+\zeta (2)-{\gamma }^2-2{\gamma }_1)=1,121192486\dots$

Sie hängen eng mit den Zahlen

${\tau }_n:=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{(\log k{)}^n}{k},n=0,1,2,\dots$

zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion

${\tau }_0=\log 2$

${\tau }_n=\frac{(\log 2{)}^{n+1}}{n+1}-\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\log 2{)}^{n-k}\cdot {\gamma }_k,n=1,2,\dots$

und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:

${\gamma }_n=-\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})B_{n+1-k}(\log 2{)}^{n-k}\cdot {\tau }_k,n=0,1,2,\dots$

Aus der Rekursion ergibt sich für $n=1$ die Identität ${\tau }_1=\frac{1}{2}(\log 2{)}^2-\gamma \log 2$, d. h. für die eulersche Konstante die alternierende Reihe

$\gamma =\frac{1}{2}\log 2+\frac{1}{\log 2}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\log k}{k}=\frac{1}{2}\log 2+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{{\log }_{2}k}{k},$

die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.

Die Folge ${\gamma }_n$ zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist, dass gilt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\ln |{\gamma }_n|}{n}=\ln \ln n$

Numerische Werte

n	Dezimalentwicklung von γn	OEIS
Vorlage:00	Vorlage:00,577215664901532860606512090082 …	A001620
Vorlage:01	−0,0728158454836767248605863758749 …	A082633
Vorlage:02	−0,00969036319287231848453038603521 …	A086279
Vorlage:03	Vorlage:00,00205383442030334586616004654275 …	A086280
Vorlage:04	Vorlage:00,00232537006546730005746817017752 …	A086281
Vorlage:05	Vorlage:00,000793323817301062701753334877444 …	A086282
Vorlage:06	−0,000238769345430199609872421841908 …	A183141
Vorlage:07	−0,000527289567057751046074097505478 …	A183167
Vorlage:08	−0,000352123353803039509602052165001 …	A183206
Vorlage:09	−0,000034394774418088048177914623798 …	A184853
10	Vorlage:00,000205332814909064794683722289237 …	A184854

Verallgemeinerung

Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:

${\gamma }_n(a):=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^N\frac{\log (k+a{)}^n}{k+a}-\frac{\log (N+a{)}^{n+1}}{n+1}),n=0,1,2,\dots$

Literatur

• Rick Kreminski: Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes (generalized Euler) constants. In: Mathematics of Computation. V. 72, No. 243, 2003, S. 1379–1397.
• Charles Knessl, Mark W, Coffey: An effective asymptotic formula for the Stieltjes Constants. In: Mathematics of Computation. V. 80, No. 273, 2010, S. 379–386.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Werte der Stieltjes-Konstanten von 0 bis 78, je 256 Dezimalstellen