Stichproben-Regressionsfunktion

In der Statistik entspricht eine Stichproben-Regressionsfunktion (Vorlage:EnS sample regression function, kurz: SRF), auch empirische Regressionsfunktion, der geschätzten Version der Regressionsfunktion der Grundgesamtheit. Die Stichproben-Regressionsfunktion ist fix, aber in der Grundgesamtheit unbekannt. Handelt es sich bei der Regressionsfunktion um eine Gerade, dann ist auch von einer Stichproben-Regressionsgerade oder empirischen Regressionsgerade die Rede. Die Stichproben-Regressionsgerade wird als Kleinste-Quadrate-Regressionsgerade (kurz: KQ-Regressionsgerade) aus Beobachtungspaaren gewonnen, die Datenpunkte repräsentieren. Sie stellt laut dem Kleinste-Quadrate-Kriterium die bestmögliche Anpassung an die Daten dar.

Einfache lineare Regression

Wenn man mittels der Kleinste-Quadrate-Schätzung den Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung ${\hat{\beta }}_1=S{P}_{xy}/S{Q}_x$ und den Kleinste-Quadrate-Schätzer für das Absolutglied ${\hat{\beta }}_0=\bar{y}-{\hat{\beta }}_1\bar{x}$ ermittelt, dann erhält man die folgende KQ-Regressionsgerade:

$\hat{y}=\widehat{\mathrm{E}(y\mid X=x)}={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_{1}x$.

Diese wird auch Stichproben-Regressionsfunktion genannt, da sie eine geschätzte Variante der (theoretischen) Regressionsfunktion der Grundgesamtheit

$\mathrm{E}(y\mid X=x)={\beta }_0+{\beta }_{1}x$

darstellt. Die Parameter ${\hat{\beta }}_0$ und ${\hat{\beta }}_1$ werden auch empirische Regressionskoeffizienten genannt. Da die Stichproben-Regressionsfunktion durch eine gegebene Stichprobe gewonnen wird, liefert eine neue Stichprobe einen neuen Anstieg ${\hat{\beta }}_1$ und ein neues Absolutglied ${\hat{\beta }}_0$. In den meisten Fällen kann man den Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung darstellen als

${\hat{\beta }}_1=\mathrm{\Delta }\hat{y}/\mathrm{\Delta }x$

Durch diese Darstellung kann man erkennen, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung wiedergibt, wie stark sich die Zielgröße $y$ verändert, wenn sich die Einflussgröße $x$ um eine Einheit erhöht.

Multiple lineare Regression

Gegeben ein typisches multiples lineares Regressionsmodell $𝐲=𝐗\mathit{\beta }+\mathit{\epsilon }$, mit $\mathit{\beta }$ dem $p\times 1$ Vektor der unbekannten Regressionsparameter, der $n\times p$ Versuchsplanmatrix $𝐗$, dem $n\times 1$ Vektor der abhängigen Variablen $𝐲$ und dem $n\times 1$ Vektor der Störgrößen $\mathit{\epsilon }$. Dann ist die KQ-Stichproben-Regressionsfunktion bzw. Stichproben-Regressionshyperebene $\widehat{𝐲}$ gegeben durch

$\widehat{𝐲}=𝐗\hat{\mathit{\beta }}=\underset{=𝐏}{\underbrace{𝐗{\left({𝐗}^{\mathrm{\top }}𝐗\right)}^{-1}{𝐗}^{\mathrm{\top }}}}𝐲=𝐏𝐲$,

wobei $𝐏$ die Prädiktionsmatrix darstellt.

Weblinks

• Springer Gabler Verlag, Gabler Wirtschaftslexikon, Stichwort: Stichproben-Regressionsgerade