Stern-Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Stern-Primzahl (vom englischen stern prime) eine Primzahl $p$, welche sich nicht als Summe einer kleineren Primzahl und dem Doppelten eines Quadrats einer ganzen Zahl $b=0$ darstellen lässt.

Mit anderen Worten: Gibt es für eine Primzahl $p$ keine kleinere Primzahl $q$ und keine ganze Zahl $b=0$, so dass $p=q+2b^2$ gilt, dann nennt man $p$ Stern-Primzahl.

Etwas umformuliert erhält man: Eine Primzahl $p$ nennt man Stern-Primzahl, wenn $p-2b^2\in ̸\mathbb{P}$ keine Primzahl ergibt für alle ganzzahligen $b=0$.

Diese Zahlen wurden erstmals am 18. November 1752 von Christian Goldbach in einem Brief an Leonhard Euler erwähnt (er vermutete damals, dass jede ungerade ganze Zahl die Form $q+2b^2$ mit ganzzahligem $b$ und primen $q$ hat) und etwa ein Jahrhundert später, im Jahr 1856, vom deutschen Mathematiker Moritz Stern genauer untersucht, nach dem diese Zahlen auch benannt wurden.

Beispiele

• Sei $p=137$. Dann kann man von dieser Primzahl $p$ die ersten doppelten Quadratzahlen $2b^2$ subtrahieren und kontrollieren, ob man eine Primzahl $q$ erhält:

$137-2\cdot 1^2=135=3^3\cdot 5\in ̸\mathbb{P}$ ist keine Primzahl.

$137-2\cdot 2^2=129=3\cdot 43\in ̸\mathbb{P}$ ist keine Primzahl.

$137-2\cdot 3^2=119=7\cdot 17\in ̸\mathbb{P}$ ist keine Primzahl.

$137-2\cdot 4^2=105=3\cdot 5\cdot 7\in ̸\mathbb{P}$ ist keine Primzahl.

$137-2\cdot 5^2=87=3\cdot 29\in ̸\mathbb{P}$ ist keine Primzahl.

$137-2\cdot 6^2=65=5\cdot 13\in ̸\mathbb{P}$ ist keine Primzahl.

$137-2\cdot 7^2=39=3\cdot 13\in ̸\mathbb{P}$ ist keine Primzahl.

$137-2\cdot 8^2=9=3^2\in ̸\mathbb{P}$ ist keine Primzahl.

$137-2\cdot 9^2=-25<0$

Offensichtlich gibt es kein $b>0$, sodass $137-2\cdot b^2\in \mathbb{P}$ eine Primzahl ist. Somit ist $p=137$ eine Stern-Primzahl.

• Sei $p=97$. Wieder kontrolliert man, ob man mit obigem Verfahren eine Primzahl $q$ erhält:

$97-2\cdot 1^2=95=5\cdot 19\in ̸\mathbb{P}$ ist keine Primzahl.

$97-2\cdot 2^2=89\in \mathbb{P}$ ist eine Primzahl.

Man kann die Berechnung unterbrechen, weil man eine Primzahl $q=89$ und ein $b=2=0$ gefunden hat, sodass $97-2\cdot b^2=q\in \mathbb{P}$ eine Primzahl ist. Somit ist $p=97$ keine Stern-Primzahl. Diese so errechnete Primzahl $q=89$ ist in diesem Fall nicht die einzige Primzahl, die man auf diese Art erhalten kann. Ebenso ergibt auch $97-2\cdot 3^2=79\in \mathbb{P}$ und $97-2\cdot 5^2=47\in \mathbb{P}$ eine Primzahl. Es gibt für $p=97$ also drei Möglichkeiten, dass man mit $p-2\cdot b^2$ eine Primzahl erhalten kann. Diese Darstellungen nennt man Goldbach-Darstellungen von $p=97$.

• Die einzigen bekannten Stern-Primzahlen sind die folgenden:

2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 (Vorlage:OEIS)

Es gibt bis $2\cdot 10^{13}$ keine weiteren Stern-Primzahlen. Es ist unbekannt, ob es größere gibt.

• Die folgende Liste gibt alle bekannten ungeraden Zahlen $n$ an, nicht notwendigerweise Primzahlen, welche keine Goldbach-Darstellungen haben, welche also nicht von der Form $n=q+2b^2$ mit primen $q$ sind:

1, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493, 5777, 5993 (Vorlage:OEIS)

Diese Zahlen nennt man Stern-Zahlen. Nur zwei dieser Zahlen sind keine Primzahlen, nämlich 5777 und 5993.

• Wie oben schon erwähnt, hat eine Zahl Zahl $n$ oft mehrere Goldbach-Darstellungen. Die folgende Liste gibt die kleinste Zahl $n$ an, die $k$ Goldbach-Darstellungen hat (mit aufsteigendem $k=1,2,3,\dots$, wobei auch $p=1$ und $b=0$ erlaubt ist):

1, 3, 13, 19, 55, 61, 139, 139, 181, 181, 391, 439, 559, 619, 619, 829, 859, 1069, 1081, 1459, 1489, 1609, 1741, 1951, 2029, 2341, 2341, 3331, 3331, 3331, 3961, 4189, 4189, 4261, 4801, 4801, 5911, 5911, 5911, 6319, 6319, 6319, 8251, 8251, 8251, 8251, 8251 (Vorlage:OEIS)

Beispiel:

An der siebenten und achten Stelle der obigen Liste steht die Zahl $n=139$. Tatsächlich gibt es für diese Zahl (in diesem Fall eine Primzahl) acht verschiedene (und somit auch sieben verschiedene) Goldbach-Darstellungen, so viel, wie keine andere kleinere Zahl vorher (bis zu dieser Zahl hatte $n=61$ den Rekord mit sechs Goldbach-Darstellungen):

$139=139+2\cdot 0^2$ mit $139\in \mathbb{P}$, ist aber genau genommen laut der Definition von Stern-Primzahlen nicht erlaubt, weil $b=0$

$139=137+2\cdot 1^2$ mit $137\in \mathbb{P}$

$139=131+2\cdot 2^2$ mit $131\in \mathbb{P}$

$139=121+2\cdot 3^2$ mit $121=11^2\in ̸\mathbb{P}$, also keine Goldbach-Darstellung

$139=107+2\cdot 4^2$ mit $107\in \mathbb{P}$

$139=89+2\cdot 5^2$ mit $89\in \mathbb{P}$

$139=67+2\cdot 6^2$ mit $67\in \mathbb{P}$

$139=41+2\cdot 7^2$ mit $41\in \mathbb{P}$

$139=11+2\cdot 8^2$ mit $11\in \mathbb{P}$

Wissenswertes

• Bei Primzahlzwillingen $(p,p+2)$ hat die größere der beiden Primzahlen die Goldbach-Darstellung $p+2=p+2\cdot 1^2$.
• Bei Primzahlvierlingen $(p,p+2,p+6,p+8)$ hat die größte dieser vier Primzahlen die Goldbach-Darstellung $p+8=p+2\cdot 2^2$.
• Schon Leonhard Euler vermutete, dass je größer eine Primzahl $p$ ist, desto mehr (Goldbach-)Darstellungen der Form $p=q+2b^2$ gibt es für diese Zahl. Deswegen war schon er der Meinung, dass die obige (kurze) Liste der 8 Stern-Primzahlen alle Stern-Primzahlen sind, die existieren.
• Goldbach vermutete in seinem Brief an Leonhard Euler, dass jede ungerade ganze Zahl $n$ in der Form $n=q+2b^2$ mit primen $q\in \mathbb{P}$ oder $q=1$ und $a\ge 0$ geschrieben werden kann und führte als Beispiel unter anderem auch für die Stern-Primzahl $p=17$ eine Darstellung der Form $17=17+2\cdot 0^2$ an. Damit hat er auch für alle anderen Primzahlen Darstellungen der Form $p=p+2\cdot 0^2$ gefunden, die allerdings nicht der heutigen Definition von Stern-Primzahlen entsprechen, weil mittlerweile $b=0$ verlangt wird. Insofern behauptete er, dass alle Stern-Zahlen (mit der heutigen Definition) Primzahlen sind. Mittlerweile sind aber zwei (ungerade) Stern-Zahlen bekannt, die keine Primzahlen sind, nämlich $5777=53\cdot 109$ und $5993=13\cdot 461$, welche definitiv keine Darstellung der Form $q+2b^2$ besitzen. Somit irrte sich Goldbach.
• Moritz Stern untersuchte ab 1856 mit seinen Studenten alle ungeraden Zahlen bis $9000$ und fand auch die beiden Stern-Zahlen $5777$ und $5993$, welche keine Primzahlen sind. Allerdings führte er die Primzahl $p=17$ als kleinste Stern-Primzahl an und nicht die tatsächlich kleinste ungerade Stern-Primzahl $p=3$. Der Grund dafür ist der, dass damals viele Mathematiker die Zahl $1$ noch als Primzahl betrachteten, weswegen $p=3$ nicht als Stern-Primzahl gegolten hat, weil diese Zahl die Darstellung $3=1+2\cdot 1^2$ hat.

Weblinks

• Vorlage:PlanetMath