Stationäre Raumzeit

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird eine Raumzeit als stationär bezeichnet, wenn sie ein zeitartiges Killing-Vektorfeld besitzt. Dabei verwenden einige Autoren (z. B. Ludvigsen) die Bezeichnung „stationäre Raumzeit“ auch bei asymptotisch flachen Raumzeiten, welche lediglich ein Killing-Vektorfeld besitzen, das asymptotisch zeitartig ist, d. h., die Killing-Vektoren werden im Grenzfall großer Entfernung zeitartig. Andere Autoren (Hawking and Ellis) bezeichnen eine Raumzeit, welche lediglich ein asymptotisch zeitartiges Killing-Vektorfeld besitzt als asymptotisch stationär, noch andere (Carroll) verwenden die Bezeichnung inkonsistent.

Entlang eines Killing-Vektorfeldes ist der Metrische Tensor invariant. Anschaulich bedeutet dies, dass es Beobachter gibt, für die sich das Gravitationsfeld zeitlich nicht ändert.

Zusammensetzung des Linienelements einer stationären Raumzeit

Ein Beobachterfeld $U$ in einer Raumzeit $(M,g)$ heißt stationär, wenn es eine positive Funktion $f\in C^{\mathrm{\infty }}(M,{ℝ}^{+})$ gibt, sodass $fU$ ein Killing-Vektorfeld ist. Besitzt die Raumzeit ein stationäres Beobachterfeld, so heißt sie stationär. In den Koordinaten eines stationären Beobachters sind die Komponenten $g_{\mu \nu }$ des Metrischen Tensors unabhängig von der Zeitkoordinate. Das Linienelement (mit Signatur $(+,-,-,-)$ und $i,j=1,2,3$) einer stationären Raumzeit lässt sich daher auf die Form

$\mathrm{d}{s}^2=\lambda (\mathrm{d}t-{\omega }_i\mathrm{d}{y}^i{)}^2-{\lambda }^{-1}{h}_{ij}\mathrm{d}{y}^i\mathrm{d}{y}^j,$

bringen, wobei $t$ die Zeitkoordinate, $y^i$ die drei räumlichen Koordinaten und $h_{ij}$ der metrische Tensor des dreidimensionalen Raums ist. In diesen Koordinaten hat das Killing-Vektorfeld ${\xi }^{\mu }$ die Komponenten ${\xi }^{\mu }=(1,0,0,0)$. $\lambda$ ist ein positiver Skalar der die Norm des Killing-Vektorfelds bestimmt, d. h. $\lambda =g_{\mu \nu }{\xi }^{\mu }{\xi }^{\nu }$, und ${\omega }_i$ ein Dreiervektor der die Rotation (Vorlage:EnS) der Raumzeit bestimmt. Dieser Vektor berechnet sich aus den räumlichen Komponenten des Twist-Vektors ${\omega }_{\mu }={\epsilon }_{\mu \nu \rho \sigma }{\xi }^{\nu }{\mathrm{\nabla }}^{\rho }{\xi }^{\sigma }$(siehe beispielsweise S. 163) zusammen, der als antisymmetrisches Produkt des Killing-Vektorfelds und seiner kovarianten Ableitung $\mathrm{\nabla }$, mit Hilfe des Epsilon-Tensor $\epsilon$ berechnet wird.

Twist-Vektor und dessen Interpretation

Vorlage:Anker Der Twist-Vektor beschreibt, wie stark die Orientierung des Killing-Vektorfelds von den Flächennormalen der raumartigen Hyperflächen abweicht. Wenn das Killing-Vektorfeld orthogonal zu den raumartigen Hyperflächen ist, d. h., es gilt ${\omega }_{\mu }{\xi }^{\mu }=0$, dann ist das Killing-Vektorfeld rotationsfrei und der Dreiervektor ${\omega }_i$ verschwindet. Eine solche Raumzeit wird statisch genannt.

Aus dieser Definition folgt, dass eine statische Raumzeit immer stationär ist, eine stationäre Raumzeit aber nicht statisch sein muss.

Beispiele

• Eine flache Raumzeit wird durch eine Minkowski-Metrik beschrieben und ist stationär und statisch.
• Die Raumzeit einer homogenen, nicht geladenen und nicht rotierenden Kugel, wird durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben und ist asymptotisch stationär und asymptotisch statisch.
• Das Gravitationsfeld eines nicht geladenen, rotierenden schwarzen Lochs wird durch die Kerr-Metrik beschrieben und ist asymptotisch stationär aber nicht asymptotisch statisch.
• Eine Raumzeit mit Gravitationswellen ist weder stationär noch statisch.