Starrer Körper (Algebra)

Ein starrer Körper (englisch: rigid field) ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete algebraische Struktur, und zwar ein Körper, der als (Körper-)Automorphismus nur einen einzigen, den trivialen, nämlich die Identität, zulässt.

Beispiele

Ein Primkörper $\mathrm{\Pi }$ ist starr. Denn für jeden Automorphismus $\sigma$ ist $\mathrm{Fix}(\mathrm{\Pi },\sigma ):=\{x\in \mathrm{\Pi }|\sigma (x)=x\}$ in $\mathrm{\Pi }$ enthalten und ein Körper (der Fixkörper). Da $\mathrm{\Pi }$ keinen echten Teilkörper enthält, ist der Fixkörper gleich ganz $\mathrm{\Pi }$, und $\sigma$ wirkt trivial auf $\mathrm{\Pi }$.

Starre Körper der Charakteristik 0 sind beispielsweise die euklidischen Körper, dazu gehören u. a. der Körper der reellen Zahlen $ℝ$ und der reell abgeschlossene Körper $𝔸\cap ℝ$ der reellen algebraischen Zahlen, sowie der (nichteuklidische) Primkörper der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.

Gegenbeispiele

Ein Zwischenkörper ist nicht automatisch starr, wenn Ober- und Teilkörper es sind. Bspw. hat der quadratische Zahlkörper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, der zwischen den rationalen Zahlen und den reellen Zahlen liegt Vorlage:Nowrap eine nicht-triviale Konjugationsabbildung.

Ein Körper der Charakteristik 0, der ein Element $\mathrm{i}$ mit ${\mathrm{i}}^2=-1$ enthält, enthält auch eine Konjugationsabbildung, ist also nicht starr.