Standardabschätzung für Wegintegrale

In der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, gibt die Standardabschätzung für Wegintegrale, auch bekannt als die ML-Ungleichung, eine obere Schranke für ein Konturintegral an. Wenn $f$ eine komplexwertige, stetige Funktion auf der Kontur $\mathrm{\Gamma }$ ist und ihr Absolutwert $|f(z)|$ für alle $z$ auf $\mathrm{\Gamma }$ durch eine Konstante $M$ begrenzt ist, dann

$|\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz|\le M\ell (\mathrm{\Gamma }),$

wobei $\ell (\mathrm{\Gamma })$ die Länge von $\mathrm{\Gamma }$ bezeichnet. Wir können das Supremum

$M:=\underset{z\in \mathrm{\Gamma }}{\sup }|f(z)|$

als obere Schranke nehmen. Das Lemma wird oft genutzt, um zu zeigen, dass ein gewisses Integral für $|z|\to \mathrm{\infty }$ gegen 0 geht.

Beweis

Der Beweis ist relativ einfach. Wir nutzen die Ungleichung für den Betrag eines Integrals:

$|\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz|=|\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)dt|\le \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}|f(\gamma (t))||{\gamma }^{\prime }(t)|dt\le \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}M|{\gamma }^{\prime }(t)|dt=M\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|dt=M\ell (\mathrm{\Gamma })$

Siehe auch

• Lemma von Jordan

Literatur

• E. B. Saff, A. D. Snider: Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering. 2. Auflage, Prentice Hall, 1993, ISBN 978-0133274615.
• J.M. Howie: Complex Analysis. Springer, 2003.