Stack (Kategorientheorie)

In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht.

Für einen topologischen Raum $X$ sei $ℭ𝔬𝔳(X)$ die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen $j:U\to X$ sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen $i:U_1\to U_2$ sind, so dass $j_1=j_2\circ i$ gilt.

• Eine Prägarbe über $X$ in einer Kategorie $ℭ$ ist ein kontravarianter Funktor $ℱ:ℭ𝔬𝔳(X)\to ℭ$.

Für jeden Morphismus $i:U\to V$ und ein Pullback

$U^2$	$\to$	$U$
$\downarrow$		$\downarrow$
$U$	$\to$	$V$

bekommt man ein induziertes kommutierendes Diagramm

$ℱ(V)$	$\to$	$ℱ(U)$
$\downarrow$		$\downarrow$
$ℱ(U)$	$\to$	$ℱ(U^2)$

(mit umgedrehten Pfeilen). Gemäß der universellen Eigenschaft eines Pullbacks

$D$	$\to$	$ℱ(U)$
$\downarrow$		$\downarrow$
$ℱ(U)$	$\to$	$ℱ(U^2)$

gibt es einen eindeutigen Morphismus $\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{s}(i,ℱ):ℱ(V)\to D$ in der Kategorie $ℭ$.

• Das Abstiegsaxiom für die Prägarbe $ℱ$ lautet: Für jedes $i:U\to V$ ist der Morphismus $\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{s}(i,ℱ)$ ein Isomorphismus.

Man kann sich nun überlegen, dass diese Definitionen mit den eher gebräuchlichen aus dem Artikel über Garben übereinstimmt. Sie erlauben jedenfalls eine Kategorifizierung in natürlicher Art und Weise: Kategorien werden 2-Kategorien, Funktoren werden 2-Funktoren, Objekte werden Kategorien, Morphismen werden Funktoren, und Gleichungen von Morphismen werden natürliche Äquivalenzen. Dabei wird die Kategorie $ℭ𝔬𝔳(X)$ zu einer 2-Kategorie, indem man nur Identitäten als 2-Morphismen zulässt.

Damit ergeben sich die folgenden Definitionen:

• Eine gefaserte Kategorie über $X$ in einer 2-Kategorie $ℭ$ ist ein kontravarianter 2-Funktor $ℱ:ℭ𝔬𝔳(X)\to ℭ$.
• Das Abstiegsaxiom für eine gefaserte Kategorie $ℱ$ lautet: Für jeden 1-Morphismus $i:U\to V$ ist der Funktor $\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{s}(i,ℱ)$ eine Äquivalenz von Kategorien.
• Ein Stack ist eine gefaserte Kategorie, die das Abstiegsaxiom erfüllt.

Bemerkung: Eigentlich sollte eine gefaserte Kategorie „Prä-Stack“ heißen, aber dieser Begriff ist bereits durch eine etwas andere, nicht-äquivalente Definition belegt.

Literatur

• Ieke Moerdijk: Introduction to the language of stacks and gerbes. University of Utrecht, 2002 (englisch) Vorlage:ArXiv

Weblinks

• Stacks Project