Størmer-Zahl

Eine Størmer-Zahl, auch als Arkuskotangens-irreduzible Zahl (englisch arc-cotangent irreducible number) bezeichnet, ist eine natürliche Zahl $n$, für die der größte Primfaktor von $n^2+1$ größer oder gleich $2n$ ist. Namensgeber ist der norwegische Geophysiker und Mathematiker Carl Størmer.

Definition

Eine natürliche Zahl $n$ heißt Størmer-Zahl, wenn es eine Primzahl $p$ gibt mit $p\ge 2n$ und $p|(n^2+1)$, wobei | für die Teilbarkeitsrelation steht.

Beispiel

n=33 ist eine Størmer-Zahl. Der größte Primfaktor von $n^2+1=33^2+1=1090=2\cdot 5\cdot 109$ ist $109$, und dieser ist größer als $2n=2\cdot 33=66$.

Størmer-Zahlen

Folgende Zahlen sind Størmer-Zahlen:

1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95, 96, …

John Todd hat bewiesen, dass diese Folge weder endlich noch koendlich ist.

Auftreten

Størmer-Zahlen treten bei der Untersuchung von Werten der Arkuskotangens-Funktion an ganzzahligen Stellen auf. Man nennt einen solchen Wert $\mathrm{arccot}n$ (auch Gregory-Zahl genannt) reduzibel, wenn er als ganzzahlige Linearkombination

$\mathrm{arccot}n=\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k\cdot \mathrm{arccot}k,a_k\in \mathbb{Z}$

solcher Werte an kleineren Stellen geschrieben werden kann, wie zum Beispiel

$\begin{array}{cc}\mathrm{arccot}3& =\mathrm{arccot}1-\mathrm{arccot}2,\\ \mathrm{arccot}7& =\mathrm{arccot}1-2\cdot \mathrm{arccot}2,\\ \mathrm{arccot}8& =\mathrm{arccot}3-\mathrm{arccot}5,\\ \mathrm{arccot}57& =-2\cdot \mathrm{arccot}1+3\cdot \mathrm{arccot}2+\mathrm{arccot}5,\\ \mathrm{arccot}239& =-\mathrm{arccot}1+4\cdot \mathrm{arccot}5,\\ \mathrm{arccot}682& =-2\cdot \mathrm{arccot}1+3\cdot \mathrm{arccot}2+2\cdot \mathrm{arccot}11,\\ \mathrm{arccot}12943& =3\cdot \mathrm{arccot}1-4\cdot \mathrm{arccot}2-3\cdot \mathrm{arccot}5+\mathrm{arccot}11.\end{array}$

Es stellt sich heraus, dass $\mathrm{arccot}n$ genau dann irreduzibel, also nicht eine solche Linearkombination ist, wenn $n$ eine Størmer-Zahl ist. Die gezeigte Art der Zerlegung erklärt die eingangs genannte alternative Bezeichnung „Arkuskotangens-irreduzible Zahl“.

Weblinks

• Størmer number (MathWorld)