Spiegelungsmatrix

Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden $g$ in der Ebene mit dem Neigungswinkel $\alpha$. Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden

Die Matrix einer Spiegelung $S_g$ an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel $\alpha$ zur positiven x-Achse ist:

$S_g=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{array}\right)$.

Zum Beispiel ist die Matrix einer Spiegelung S an der x-Achse:

$S=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$.

Spiegelung an einer beliebigen ebenen Geraden

Damit lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors $\overrightarrow{v}$ an einer beliebigen Geraden $g=\overrightarrow{a}+r\cdot \overrightarrow{u}$ mit Neigungswinkel $\alpha$ darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

1. Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden $g^{*}=r\cdot \overrightarrow{u}$ zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von $g$ um $-\overrightarrow{a}$ erreicht: ${\overrightarrow{v}}^{\prime }=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{a}$. Der Vektor ${\overrightarrow{v}}^{\prime }$ wird nun an $g^{*}$ gespiegelt:

   ${\overrightarrow{q}}^{\prime }=S_g({\overrightarrow{v}}^{\prime })=S_g(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{a})=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{array}\right)\cdot (\overrightarrow{v}-\overrightarrow{a})$

2. Verschiebung von ${\overrightarrow{q}}^{\prime }$ um den Stützvektor $\overrightarrow{a}$ der Ausgangsgeraden $g$

   $\overrightarrow{q}={\overrightarrow{q}}^{\prime }+\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{array}\right)\cdot (\overrightarrow{v}-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}$

Allgemeinere Spiegelungen

Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen und haben die Determinante −1.

Die Darstellungen von Spiegelungen an Hyperebenen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Literatur

• Wolfgang Mackens, Heinrich Voß: Mathematik. Für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Band 1. HECO-Verlag, Aachen 1993, ISBN 3-930121-00-X.