Siegel-Nullstelle

Die Siegel-Nullstelle (auch Landau-Siegel-Nullstelle) bezeichnet in der analytischen Zahlentheorie ein potentielles Gegenbeispiel, um die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung zu widerlegen. Diese Vermutung weitet die klassische Riemannsche Vermutung auf Dirichletsche L-Funktionen aus. Es handelt sich um eine hypothetische Nullstelle einer L-Funktion $L(s,{\chi }_q)$ in der Nähe des Wertes $s=1$. Für eine L-Funktion kann es höchstens eine Siegel-Nullstelle geben.

Die Existenz von Siegel-Nullstellen hat einige Konsequenzen. So gilt nach einem Satz von Roger Heath-Brown, dass die Existenz von unendlich vielen Siegel-Nullstellen (für verschiedene L-Funktionen) die Primzahlzwillingsvermutung impliziert. Die Primzahlzwillings-Vermutung geht dahin, dass unendlich viele Zahlenpaare $(p,p+2)$ existieren, deren beide Komponenten prim sind.

Die Landau-Siegel-Nullstelle ist nach den deutschen Mathematikern Carl Ludwig Siegel und Edmund Landau benannt.

Grundbegriffe

Dirichlet-Charakter

Als Dirichlet-Charakter (mod $q$) für ein $q\in \mathbb{N}$ bezeichnet man eine komplexe Funktion ${\chi }_q:\mathbb{Z}\to ℂ$, wenn sie für alle $a,b\in \mathbb{Z}$ folgende Eigenschaften erfüllt

1) ${\chi }_q(ab)={\chi }_q(a){\chi }_q(b)$.

2) ${\chi }_q(a)=0$ falls $\mathrm{ggt}(a,q)>1$.

3) ${\chi }_q(a)\ne 0$ falls $\mathrm{ggt}(a,q)=1$.

4) ${\chi }_q(a+q)={\chi }_q(a)$.

Reeller und komplexer Dirichlet-Charakter

Ein Dirichlet-Charakter ${\chi }_q$ heißt reell (oder quadratisch) falls alle seine Werte ${\chi }_q(a)$ reell sind oder äquivalent falls er gleich seiner komplex Konjugierten ist

${\chi }_q(a)=\overline{{\chi }_q(a)}.$

Ansonsten ist er komplex oder nicht-reell.

Dirichletsche L-Funktion

Eine Dirichletsche L-Funktion ist für ein $s\in ℂ$ und einen Dirichlet-Charakter ${\chi }_q$ die Funktion

$L(s,{\chi }_q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\chi }_q(n)}{n^s}.$

Nullstellen

Die Nullstellen $s_{{\chi }_q}={\sigma }_{{\chi }_q}+i{t}_{{\chi }_q}$ der Dirichletschen L-Funktion $L(s,{\chi }_q)$ werden in triviale und nicht-triviale Nullstellen aufgeteilt. Die trivialen Nullstellen sind alle negativ und die nicht-trivialen befinden sich im kritischen Streifen

$\{s_{\chi }\in ℂ:0<{\sigma }_{{\chi }_q}<1\}.$

Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung nimmt an, dass für alle nicht-trivialen Nullstellen ${\sigma }_{{\chi }_q}=\frac{1}{2}$ gilt.

Definition

Notation:

• $s=\sigma +it$ bezeichnet eine komplexe Zahl.
• ${\chi }_q$ ist ein Dirichlet-Charakter.
• $L(s,{\chi }_q)$ ist eine zu ${\chi }_q$ gehörende L-Funktion.

Definition:

Zentral für die Definition ist folgendes Theorem (welches in unterschiedlichen Varianten von Landau, Grönwall und Titchmarsh stammt, siehe )

I) Falls ${\chi }_q$ komplex ist, dann existiert eine (effektiv-berechenbare) reelle Konstante $c_0>0$, so dass

$L(s,{\chi }_q)\ne 0$

in der Region

$R=\left\{\sigma \right|1-\frac{c_0}{\log (q(|t|+2))}\le \sigma <1\}$

ist.

II) Falls ${\chi }_q$ reell ist, so kann es höchstens ein $s$ mit $L(s,{\chi }_q)=0$ in der Region $R$ geben. Weiter muss diese Nullstelle $s$ reell sein, d. h. $t=0$.

Ein solches $s$ für den Dirichlet-Charakter ${\chi }_q$ nennt man Siegel-Nullstelle oder außergewöhnliche Nullstelle.

Eigenschaften

Die Siegel-Nullstelle $\beta$ hängt vom gewählten Dirichlet-Charakter ${\chi }_q$ ab.

Satz von Siegel

Sei $\beta$ eine Siegel-Nullstelle für einen primitiven Dirichlet-Charakter ${\chi }_q$ mit Leiter (Vorlage:EnS) $k$ (d. h. $k>0$). Für $\epsilon >0$ existiert eine Konstante $c(\epsilon )>0$, so dass

$1-\beta \ge \frac{c(\epsilon )}{k^{\epsilon }}.$

Sätze von Heath-Brown

Von Heath-Brown stammen folgende Aussagen über die Siegel-Nullstellen und die Primzahlzwillingsvermutung.

Satz 1

Sei ${\chi }_q$ ein reeller, primitiver Dirichlet-Charakter und $\beta$ eine Siegel-Nullstelle und

$\beta >1-\frac{1}{3\log q}.$

Falls unendlich viele solche $\{({\chi }_{q_i}^{(i)},{\beta }_i)\}$ existieren, dann existieren unendlich viele Primzahlzwillinge.

Satz 2

Mindestens eine der beiden Aussagen ist wahr:

1. Es existieren keine Siegel-Nullstellen, d. h. es existiert eine gemeinsame Schranke $c_0>0$, so dass für alle $q\ge 2$ und alle ${\chi }_q$ gilt $L(\sigma +it,{\chi }_q)\ne 0$ für

$\sigma \ge 1-\frac{c_0}{\log (q|t|+2))}.$

1. Die Primzahlzwillingsvermutung ist wahr.

Deuring-Heilbronns Repulsions-Phänomen

Sei $\mathrm{X}(q):=\{{\chi }_q^{(i)}\}$ die Familie aller Dirichlet-Charaktere zum Modulus $q$. Die Existenz einer Siegel-Nullstelle zu einem Dirichlet-Charakter ${\chi }_q$ hat Auswirkungen auf die anderen Nullstellen innerhalb der gleichen Familie $\mathrm{X}(q)$. Dieses Phänomen ist nach Max Deuring und Hans Arnold Heilbronn benannt. Es wurde quantifiziert von Juri Wladimirowitsch Linnik durch nachfolgendes Theorem.

Linniks Repulsions-Theorem

Falls eine Siegel-Nullstelle $\beta$ zu einem Dirichlet-Charakter ${\chi }_q$ existiert, so dass

$1-\beta =\frac{\epsilon }{\log (q)}$

für ein hinreichend kleines $\epsilon$ gilt, dann sind alle anderen Nullstellen $s=\sigma +it$ der Familie $\mathrm{X}(q)$ in der Region

$1-\sigma \ge c\frac{\log (\frac{1}{\epsilon })}{\log (q(|t|+2))}$

für eine (effektiv-berechenbare) positive Konstante $c$.

Literatur

• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur