Sherrington-Kirkpatrick-Modell

Das Sherrington-Kirkpatrick-Modell ist in der statistischen Physik ein lösbares Spin-Glas-Modell, welches 1975 von David Sherrington und Scott Kirkpatrick eingeführt wurde. Es ist ein Mean-Field-Modell für das Spin-Glas.

Definition

Das Sherrington-Kirkpatrick-Modell besteht aus einer Konfiguration $\sigma =({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_N)\in {\mathrm{\Sigma }}_N:=\{-1,1{\}}^N$ bestehend aus $N$ binären Spins ${\sigma }_i\in \{-1,1\}$ und einem Hamiltonoperator $H_N:{\mathrm{\Sigma }}_N\to ℝ$ gegeben durch

$H_N(\sigma )=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{1\le i<j\le N}{g}_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j,$

wobei die $\{g_{ij}{\}}_{1\le i<j\le N}$ unabhängige und normalverteilte Zufallsvariablen sind, das heißt $g_{ij}\sim 𝒩(0,1)$ für $1\le i<j\le N$ .

Üblicherweise ist man nun an

$\max {\mathrm{\backslash limits}}_{\sigma \in {\mathrm{\Sigma }}_N}{H}_N(\sigma )$

(für eine Realisation der Zufallsvariablen $g_{ij}$) interessiert.

Eigenschaften

• $H_N(\sigma )$ ist zentriert und gaußsch. Es gilt

$𝔼[H_N({\sigma }^1)H_N({\sigma }^2)]=\frac{1}{N}\sum _{i<j}{\sigma }_i^1{\sigma }_j^1{\sigma }_i^2{\sigma }_j^2=\frac{N}{2}{\left(\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\sigma }_i^1{\sigma }_i^2\right)}^2-\frac{1}{2}=\frac{N}{2}{\left(R_{1,2}\right)}^2-\frac{1}{2},$

wobei $R_{1,2}$ ein normalisiertes euklidisches Skalarprodukt ist.

Grenzwertverhalten

Die Partitionsfunktion ist

$Z_N(\beta )=\sum _{\sigma \in {\mathrm{\Sigma }}_N}\exp (\beta H_N(\sigma )),$

wobei $\beta >0$ der inverse Temperatur-Parameter ist. Die freie Energie ist

$F_N(\beta )=\frac{1}{N}𝔼\log (Z_N(\beta )).$

Dann gilt

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{N\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{N}𝔼[\max {\mathrm{\backslash limits}}_{\sigma \in {\mathrm{\Sigma }}_N}{H}_N(\sigma )]=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\beta \to \mathrm{\infty }}\frac{F(\beta )}{\beta },$

wobei $F(\beta )=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{N\to \mathrm{\infty }}{F}_N(\beta ).$

Verallgemeinerungen

Eine natürliche Verallgemeinerung ist das gemischte p-Spin-Modell, dessen Hamiltonian aus linearen Kombinationen von $p$ Spins (statt nur $2$) besteht.

Literatur

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• Mezard, M., Parisi, G., Virasoro, M.A.: Spin glass theory and Beyond. W.S. Lect. Notes in Physics 9, Singapore: World Scientific 1987