Semiperfekter Ring

Vorlage:Belege fehlen Ein semiperfekter Ring im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Ring, über dem jeder endlich erzeugte Linksmodul eine projektive Decke hat. Der Begriff wurde 1959/60 von Hyman Bass eingeführt.

Definition

Im Folgenden sei R ein Ring mit 1, J=J(R) das Jacobson-Radikal.

Ein Ring R heißt semiperfekt, wenn er eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften besitzt:

• Jeder einfache R-Links-/Rechtsmodul hat eine projektive Decke.
• Jeder endlich erzeugte R-Links-/Rechtsmodul hat eine projektive Decke.
• R/J ist halbeinfach, und jedes Idempotent von R/J lässt sich zu R heben.
• Es existiert eine Zerlegung $1=\sum _{i=1}^n{e}_i$ mit paarweise orthogonalen, lokalen Idempotenten $e_1,\dots ,e_n$.

Eigenschaften

• Alle linksartinschen und alle rechtsartinschen Ringe sind semiperfekt.
• Jeder lokale Ring ist semiperfekt.
• Ein kommutativer Ring $R$ ist genau dann semiperfekt, wenn $R$ eine endliche direkte Summe von lokalen Ringen ist.
• Ist $R$ semiperfekt und $I$ ein Ideal von $R$, dann ist auch der Faktorring $R/I$ semiperfekt.
• Ist $R$ ein Ring und $e\in R$ ein Idempotent, dann ist $R$ semiperfekt genau dann wenn $(1-e)R(1-e)$ und $eRe$ semiperfekt sind.