Selbergsche Zetafunktion

Die Selbergsche Zetafunktion ist eine Funktion aus dem mathematischen Gebiet der harmonischen Analysis. Sie wird verwendet, um den Zusammenhang zwischen den Eigenwerten des Laplace-Operators und dem Längenspektrum einer hyperbolischen Fläche zu untersuchen.

Definition

Es sei $S=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{H}^2$ eine hyperbolische Fläche oder Orbifaltigkeit. Für eine einfache geschlossene Geodäte $\gamma \subset S$ bezeichne $l(\gamma )$ ihre Länge. Die Selbergsche Zetafunktion ${𝒵}_{\mathrm{\Gamma }}:ℂ\to ℂ\cup \left\{\mathrm{\infty }\right\}$ wird durch meromorphe Fortsetzung der für $\mathrm{Re}(s)\gg 0$ durch

${𝒵}_{\mathrm{\Gamma }}(s)=\prod _{\gamma }\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{-l(\gamma )(s+k)})$

gegebenen Funktion definiert.

Nullstellen

Die Nullstellen der Selbergschen Zetafunktion sind diejenigen Zahlen $s_j$, die die Gleichung

$s_j(1-s_j)={\lambda }_j$

für einen der Eigenwerte

$0={\lambda }_0<{\lambda }_1<{\lambda }_2<\dots$

des Laplace-Operators auf $S$ erfüllen.

Mayerscher Transfer-Operator

Für $\mathrm{\Gamma }=SL(2,\mathbb{Z})$ hat man die Identität

${𝒵}_{\mathrm{\Gamma }}(s)=\det (1-{ℒ}_s^2)$.

Dabei bezeichnet ${ℒ}_s:V\to V$ den Mayerschen Transferoperator auf dem Raum $V$ der Funktionen, die auf der offenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt $1$ und Radius $\frac{3}{2}$ holomorph und auf ihrem Rand stetig sind. Er ist definiert durch

${ℒ}_s\varphi (z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+n{)}^{2s}}\varphi \left(\frac{1}{z+n}\right)$.

Literatur

• U. Bunke, M. Olbrich: Selberg Zeta and Theta Functions. A differential operator approach. Vol. 83 of Mathematical Research (Akademie-Verlag, 1995).
• d'Hoker, E. und Phong, D. H.: Multiloop Amplitudes for the Bosonic Polyakov String. Nucl. Phys. B 269, 205–234, 1986.
• d'Hoker, E. und Phong, D. H.: On Determinants of Laplacians on Riemann Surfaces. Commun. Math. Phys. 104, 537–545, 1986.
• Fried, D.: Analytic Torsion and Closed Geodesics on Hyperbolic Manifolds. Invent. Math. 84, 523–540, 1986.
• Selberg, A.: Harmonic Analysis and Discontinuous Groups in Weakly Symmetric Riemannian Spaces with Applications to Dirichlet Series. J. Indian Math. Soc. 20, 47–87, 1956.
• Voros, A.: Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function. Commun. Math. Phys. 110, 439–465, 1987.

Weblinks

• Selberg Zeta Function (Math World)
• Don Zagier: New points of view on the Selberg zeta function
• Ulrich Bunke: Theta and Selberg zeta functions