Scott-Topologie

Die Scott-Topologie, benannt nach Dana Scott, ist eine Topologie, die sich aus der Halbordnung auf einer halbgeordneten Menge ergibt. Sie spielt unter anderem in der theoretischen Informatik eine Rolle.

Definition

Es sei $(A,⊑)$ eine Menge mit Halbordnung. Eine Teilmenge $U\subseteq A$ heißt Scott-abgeschlossen, falls

• $U$ bezüglich $⊑$ eine Unterhalbmenge ist, das heißt mit jedem Element auch jedes bzgl. der Halbordnung kleinere enthält, und
• für alle gerichteten $M\subseteq U$, die in $(A,⊑)$ ein Supremum $⨆M$ haben, ist $⨆M\in U$.

Die so definierten Scott-abgeschlossenen Mengen sind genau die abgeschlossenen Mengen der Scott-Topologie auf $(A,⊑)$.

Eigenschaften

Im Folgenden seien $(A,{⊑}_A)$ und $(B,{⊑}_B)$ halbgeordnete Mengen, und sie seien mit der jeweiligen Scott-Topologie ausgestattet.

• Ist $f:A\to B$ eine stetige Abbildung, so ist $f$ monoton.
• Eine Abbildung $f:A\to B$ ist genau dann stetig, wenn $f$ gerichtete Suprema erhält, d. h. für alle gerichteten $M\subseteq A$ mit Supremum $⨆M$ ist $⨆(f(M))=f(⨆M)$.