Schwinger-Bosonisierung

Die Schwinger-Bosonisierung ist ein Verfahren der theoretischen Physik, um quantenmechanische Spins auf bosonische Felder abzubilden. Im Gegensatz zu der verwandten Holstein-Primakoff-Transformation, welche jeweils einen Spin auf ein bosonisches Feld abbildet, führt die Schwinger-Bosonisierung zwei bosonische Felder pro Spin ein. Dafür besitzt sie den Vorteil, dass die technisch schwieriger zu behandelnden Quadratwurzeln aus Operatoren und die nicht-holonomen Zwangsbedingungen der Holstein-Primakoff-Transformation vermieden werden.

Die Methode stellt einen wichtigen Spezialfall der allgemeineren Jordan-Schwinger-Abbildung (nach Julian Schwinger und Pascual Jordan) dar.

Die drei Spin-Operatoren $S_x$, $S_y$ und $S_z$ werden wie folgt auf zwei verschiedene bosonische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren $a^{†},a$ und $b^{†},b$ abgebildet:

$\begin{array}{cc}{S}_x& =\frac{1}{2}(a^{†}b+b^{†}a)\\ S_y& =\frac{1}{2i}(a^{†}b-b^{†}a)\\ S_z& =\frac{1}{2}(a^{†}a-b^{†}b).\end{array}$

Es lässt sich leicht aus den bosonischen Kommutatorrelationen zeigen, dass die so definierten Operatoren die Spin-Algebra $[S_i,S_j]=i{ϵ}_{ijk}{S}_k$ erfüllen. Zusätzlich muss aber noch der unendlichdimensionale bosonische Hilbertraum auf den endlichdimensionalen Spin-Hilbertraum eingeschränkt werden, indem die Zwangsbedingung

$a^{†}a+b^{†}b=2S$

gefordert wird, wobei $S$ die Spinlänge ist.

Die Methode findet vielfältige Anwendung in der Behandlung von ferromagnetischen, antiferromagnetischen und frustrierten Spin-Modellen im Gleichgewicht und Nichtgleichgewicht und in der Quantenoptik zur Beschreibung kollektiver interner Zustände atomare Ensembles als auch (in umgekehrter Richtung) bei der Verwendung von Stokes-Operatoren zur Beschreibung des elektromagnetischen Feldes.

Literatur

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