Schwarzsches Lemma

Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Amandus Schwarz) ist ein Satz der Funktionentheorie über holomorphe Selbstabbildungen der Einheitskreisscheibe, welche den Nullpunkt fest lassen.

Aussage

Es bezeichne $𝔻:=\{z\in ℂ:|z|<1\}$ die offene Einheitskreisscheibe. Sei $f:𝔻\to 𝔻$ eine holomorphe Funktion mit $f(0)=0$. Dann gilt $|f(z)|\le |z|$ für alle $z\in 𝔻$ und $|f^{\prime }(0)|\le 1$. Falls in einem Punkt $z_0\in 𝔻,z_0\ne 0,$ zusätzlich die Gleichheit $|f(z_0)|=|z_0|$ besteht oder $|f^{\prime }(0)|=1$ gilt, so ist $f$ eine Drehung, d. h. $f(z)=e^{i\lambda }\cdot z$ für ein geeignetes $\lambda \in ℝ$.

Beweis

Sei $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ die Taylorentwicklung von $f$ um den Punkt $z=0$. Wegen $f(0)=0$ ist $a_0=0$, so dass die Funktion

$g(z):=\{\begin{array}{cc}\frac{f(z)}{z},& \text{falls }z=0,\\ f^{\prime }(0),& \text{sonst}\end{array}$

auf $𝔻$ holomorph ist und die Taylorentwicklung $g(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^{n-1}$ um den Nullpunkt hat. Nach dem Maximumprinzip nimmt die Funktion $|g|$ auf dem Kreis $K_r:=\{z\in ℂ\mid |z|\le r\}$, $r\in (0,1)$, ihr Maximum auf dem Rand $\partial K_r=\{z\in ℂ\mid |z|=r\}$ an. Dort gilt aber:

$|g(z)|=\left|\frac{f(z)}{z}\right|=\frac{|f(z)|}{r}\le \frac{1}{r},$

so dass |g(z)| auf ganz $K_r$ durch $\frac{1}{r}$ beschränkt ist. Da $0<r<1$ beliebig ist, so folgt durch Grenzübergang $r\to 1$ schon $|g(z)|\le 1$ und somit $|f(z)|\le |z|$ für alle $z\in 𝔻$. Weiterhin ist $|f^{\prime }(0)|=|g(0)|\le 1$.

Falls zusätzlich ein $z_0\in 𝔻$ mit $|f(z_0)|=|z_0|$ existiert oder $|f^{\prime }(0)|=1$ gilt, dann gibt es ein $z_0\in 𝔻$ mit $|g(z_0)|=1$. Mit dem Maximumprinzip folgt, dass $g$ konstant ist, also $g(z)=c$ für ein $c$ mit $|c|=1$. Es gilt also $f(z)=c\cdot z$.

Anwendungen

• Bestimmung der holomorphen Automorphismengruppe der Einheitskreisscheibe: $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(𝔻)=\{f(z)=e^{i\lambda }\frac{z-z_0}{1-\overline{z_0}z},\lambda \in [0,2\pi ),z_0\in 𝔻\}$.

Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene $ℍ$ bestimmen und erhält $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(ℍ)\cong PSL(2,ℝ)$.

• Das schwarzsche Lemma ist eines der Hilfsmittel, die beim modernen, mit Hilfe normaler Familien geführten Beweis des riemannschen Abbildungssatzes verwendet werden.
• Lemma von Schwarz-Pick: Für holomorphe Funktionen $f:𝔻\to 𝔻$ gilt $\frac{|f^{\prime }(z)|}{1-|f(z){|}^2}\le \frac{1}{1-|z{|}^2}$ für alle $z\in 𝔻$.

Verschärfung

Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion $f:𝔻\to 𝔻$ mit $f(0)=0$ in der Potenzreihenentwicklung $f(z)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j{z}^j$ die Bedingung $|a_1|\le 1$ gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch $|a_2|\le 2$ gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass $|a_j|\le j$ für alle $j\in \mathbb{N}$. Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.

Literatur

• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg Verlag, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6