Schmidt-Zerlegung

In der linearen Algebra bezeichnet die Schmidt-Zerlegung (die nach Erhard Schmidt benannt ist) eine bestimmte Darstellung eines Vektors im Tensorprodukt von zwei Vektorräumen mit Skalarprodukt als Summe von wenigen paarweise orthonormalen Produktvektoren. Die Schmidt-Zerlegung findet zum Beispiel in der Quanteninformatik Anwendung.

Aussage

Seien $H_1$ und $H_2$ Hilberträume der Dimension $n$ beziehungsweise $m$ und sei $n\ge m$. Dann gibt es für jeden Vektor $v\in H_1\otimes H_2$ Mengen von paarweise orthonormalen Vektoren $\{u_1,\dots ,u_m\}\subset H_1$ und $\{v_1,\dots ,v_m\}\subset H_2$, so dass

$v=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{u}_i\otimes v_i$

gilt, wobei die nicht-negativen Zahlen ${\alpha }_1\ge {\alpha }_2\ge ...\ge {\alpha }_m\ge 0$ durch $v$ eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Die Schmidt-Zerlegung ist im Wesentlichen eine Konsequenz der Singulärwert-Zerlegung. Fixiere Orthonormalbasen $\{e_1,\dots ,e_n\}\subset H_1$ und $\{f_1,\dots ,f_m\}\subset H_2$. Der Elementartensor $e_i\otimes f_j$ kann mit der Matrix $e_i{f}_j^T$ (hier bezeichnet $f_j^T$ die Transposition von $f_j$) identifiziert werden. Ein beliebiger Vektor $v$ lässt sich in der Basis $e_i\otimes f_j$ schreiben als

$v=\sum _{1\le i\le n,1\le j\le m}{\beta }_{ij}{e}_i\otimes f_j$

und kann dann mit der $n\times m$ Matrix

$M_v=({\beta }_{ij})$

identifiziert werden. Nach der Singulärwertzerlegung gibt es unitäre Matrizen $U$ auf $H_1$ und $V$ auf $H_2$ und eine positiv-semidefinite $m\times m$ Diagonalmatrix $\mathrm{\Sigma }$ so dass

$M_v=U\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Sigma }\\ 0\end{array}\right]V^T.$

Schreibt man $U=\left[\begin{array}{cc}{U}_1& U_2\end{array}\right]$, wobei $U_1$ eine $n\times m$-Matrix ist, dann erhält man

$M_v=U_1\mathrm{\Sigma }{V}^T.$

Bezeichnet man nun die ersten $m$ Spaltenvektoren von $U_1$ mit $\{u_1,\dots ,u_m\}$ und mit $\{v_1,\dots ,v_m\}$ die Spaltenvektoren von V und die Diagonalelemente der Matrix $\mathrm{\Sigma }$ mit ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ dann folgt

$M_v=U_1\mathrm{\Sigma }{V}^T=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{u}_i{v}_i^T=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{u}_i\otimes v_i$,

was die Behauptung beweist.

Verwendung in der Physik

Die Schmidt-Zerlegung findet z. B. in der Quantenphysik Anwendung.

Spektrum reduzierter Zustände

Betrachte einen Vektor in der Schmidt-Form

$w=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{u}_i\otimes v_i.$

Die Matrix $\rho =w{w}^{*}$ ($w^{*}$ bezeichnet den zu $w$ adjungierten Vektor) ist ein eindimensionaler Projektor auf $H_1\otimes H_2$. Die partielle Spur von $\rho$ bezüglich entweder dem Teilsystem $H_1$ oder $H_2$ ist dann durch eine Diagonalmatrix gegeben, deren nicht-verschwindende Einträge $|{\alpha }_i{|}^2$ sind. Anders ausgedrückt zeigt die Schmidt-Zerlegung, dass das Spektrum der beiden partiellen Spuren ${\text{tr}}_1(\rho )$ und ${\text{tr}}_2(\rho )$ gleich ist.

In der Quantenmechanik beschreibt $\rho$ (wie jeder eindimensionale Projektor auf $H_1\otimes H_2$) den reinen Zustand eines aus zwei Teilen zusammengesetzten Systems und ${\rho }_2:={\text{tr}}_1(\rho )$ bzw. ${\rho }_1:={\text{tr}}_2(\rho )$ beschreibt den reduzierten Zustand im Teilsystem 2 bzw. 1. Das Spektrum des reduzierten Zustands bestimmt unter anderem dessen Von-Neumann-Entropie sowie verschiedene Verschränkungsmaße des reinen Zustands $\rho$.

Schmidt-Rang und Verschränkung

Für einen Vektor $w\in H_1\otimes H_2$ werden die strikt positiven Werte ${\alpha }_i>0$ in seiner Schmidt-Zerlegung als seine Schmidt-Koeffizienten bezeichnet. Die Anzahl von Schmidt-Koeffizienten heißt Schmidt-Rang von $w$.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

• der Schmidt-Rang von $w$ ist größer als eins
• $w$ lässt sich nicht als Produktvektor $u\otimes v$ schreiben
• $w$ ist verschränkt
• die reduzierten Zustände von $w$ sind nicht rein

Aus den Schmidt-Koeffizienten eines reinen Zustands $w$ lassen sich alle seine Verschränkungseigenschaften bestimmen. Auch das Verhalten von $w$ unter lokalen Quantenoperationen ist durch die Schmidt-Koeffizienten festgelegt, insbesondere, ob sich zwei Zustände lokal ineinander transformieren lassen.

Literatur

• Erhard Schmidt: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Mathematische Annalen 63, 433–476 (1907).
• Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer (Dordrecht, 1993), Kapitel 5.
• Vorlage:Cite journal