Schlichtes Gebiet

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Veranschaulichung eines Normalgebiets bzgl. x

Ein schlichtes Gebiet, Normalbereich oder Normalgebiet ist ein mathematisches Objekt aus der Analysis. Es handelt sich um ein für die Integralrechnung einfach zu handhabendes Gebiet.

Definition

Seien $g,h\in C([a,b])$ stetige Funktionen mit $g\le h$. Dann heißt

$G=\{(x,y)\in {ℝ}^2|a\le x\le b,g(x)\le y\le h(x)\}$

(mit reellen Zahlen $a<b$) ein Normalbereich bezüglich der $x$-Achse. Analog gilt das im ${ℝ}^n$, indem jeweils jede Koordinate einmal in festen Grenzen betrachtet wird und alle anderen Koordinatengrenzen als Graph stetiger Funktionen.

Motivation

Das Integrieren einer stetigen Funktion $f:G\to ℝ$ über einem Normalgebiet $G$ lässt sich mit dem Satz von Fubini auf die Berechnung eindimensionaler Integrale zurückführen:

$\underset{G}{\int }f(x,y)\mathrm{d}(x,y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{g(x)}{\overset{h(x)}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y)\mathrm{d}x$

Fläche

Für gewöhnlich ist eine der ersten Anwendungen der Integralrechnung in der Schule die Berechnung der Fläche eines schlichten Gebietes. Die Fläche des Gebietes $G=\{(x,y)\in {ℝ}^2|a<x<b,g(x)<y<h(x)\}$ errechnet sich durch folgendes Integral:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(h(x)-g(x))\mathrm{d}x$.

Kompliziertere Gebiete setzt man anschließend oft aus schlichten Gebieten zusammen.

Literatur

• Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1992, ISBN 3-519-12232-4