Schenkeltransversalensatz

$|CP{|}^2=|BC{|}^2+|PA|\cdot |PB|$
(dunkelgraue Fläche = hellgraue Fläche)

$|CP{|}^2=|BC{|}^2-|PA|\cdot |PB|$
(dunkelgraue Fläche = hellgraue Fläche)

Der Schenkeltransversalensatz ist ein Satz der Elementargeometrie über gleichschenklige Dreiecke. Er beschreibt die Flächengleichheit bestimmter Rechtecke, die durch den Schnitt des gleichschenkligen Dreiecks mit einer bestimmten Transversalen entstehen. Der Satz liefert in einem Spezialfall zudem den Satz des Pythagoras und man kann ihn daher als dessen Verallgemeinerung betrachten. Allerdings lässt der Satz sich auch mit Hilfe des Satzes von Pythagoras beweisen, so dass beide Sätze letztlich gleichwertig bzw. logisch äquivalent sind. Der Satz folgt auch aus dem Satz von Stewart.

Der Schenkeltransversalensatz soll schon in den Elementen des Euklid (um 300 v. Chr.) auftauchen.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck $\mathrm{△}ABC$ mit der Basis $AB$ und der Spitze $C$. Die durch die Basis $AB$ verlaufende Gerade sei mit $g$ bezeichnet.

Weiter sei gegeben eine Transversale durch die Spitze $C$ von $\mathrm{\Delta }ABC$, welche $g$ in einem Punkt $P$ schneidet.

Dann gilt:

$|CP{|}^2=|AC{|}^2+|PA|\cdot |PB|$,

falls $P$ nicht auf der Strecke $AB$ liegt und

$|CP{|}^2=|AC{|}^2-|PA|\cdot |PB|$,

falls $P$ zwischen $A$ und $B$ liegt.

Beweis

Skizze zum Beweis

Die Höhe $h$ teilt die Grundseite $AB$ des gleichschenkligen Dreieckes $\mathrm{△}ABC$ in zwei gleich große Abschnitte. Zudem liefert sie die rechtwinkligen Dreiecke $\mathrm{△}PDC$ und $\mathrm{△}DBC$, auf die man den Satz des Pythagoras anwendet. Das ergibt zwei Gleichungen, aus denen dann die Aussage des Satzes folgt.

Fall 1: $P$ liegt außerhalb von $AB$

$|CP{|}^2=h^2+{(\frac{|AB|}{2}+|PA|)}^2$

$|CB{|}^2=h^2+{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2$

Löst man die zweite Gleichung nach $h^2$ auf und setzt den so erhaltenen Wert für $h^2$ in der ersten Gleichung ein, so erhält man:

$\begin{array}{cc}|CP{|}^2& =|CB{|}^2-{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2+{(\frac{|AB|}{2}+|PA|)}^2\\ & =|CB{|}^2+|AB|\cdot |PA|+|PA{|}^2\\ & =|CB{|}^2+|PA|\cdot |PB|\end{array}$

Skizze zum Beweis

Fall 2: $P$ liegt innerhalb von $AB$

$|CP{|}^2=h^2+{(\frac{|AB|}{2}-|PA|)}^2$

$|CB{|}^2=h^2+{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2$

Löst man die zweite Gleichung nach $h^2$ auf und setzt den so erhaltenen Wert für $h^2$ in der ersten Gleichung ein, so erhält man:

$\begin{array}{cc}|CP{|}^2& =|CB{|}^2-{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2+{(\frac{|AB|}{2}-|PA|)}^2\\ & =|CB{|}^2-|AB|\cdot |PA|+|PA{|}^2\\ & =|CB{|}^2-|PA|\cdot |PB|\end{array}$

Satz des Pythagoras als Spezialfall

$|CB{|}^2=|PC{|}^2+|PB{|}^2$
(Satz des Pythagoras für $\mathrm{△}PBC$)

Betrachtet man den Spezialfall, bei dem $P$ in der Mitte der Grundseite $AB$ liegt, so ist $CP$ mit der Höhe $h$ des gleichschenkligen Dreiecks $\mathrm{△}ABC$ identisch und das Rechteck $◻PBMO$ ist ein Quadrat. Damit gilt dann der Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck $\mathrm{△}PBC$. Für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck erhält man durch Spiegelung an einer seiner beiden Katheten, immer ein gleichschenkliges Dreieck, in dem der Schenkeltransversalensatz gilt und einem den Satz des Pythagoras liefert.

Literatur

• Heinrich Dörrie: Der Schenkel-Transversalensatz, Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 53, 1922, S. 8–14 (Jahrbuch-Rezension)
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