Satz von der eingeschränkten Invertierbarkeit

Der Satz von der eingeschränkten Invertierbarkeit (Vorlage:EnS), auch Satz von Bourgain-Tzafriri, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Das Theorem beschäftigt sich mit der Frage der Invertierbarkeit eines linearen Operators (respektive einer quadratischen Matrix) auf einem endlichdimensionalen $l_p^n$-Raum. Das Theorem hat bedeutende Anwendungen in der lokalen Theorie der Banach-Räume.

Der Satz wurde von Jean Bourgain und Lior Tzafriri bewiesen.

Eingeschränkte Invertierbarkeit

Notation:

• $l_p^n:=({ℝ}^n,\Vert \cdot {\Vert }_p).$
• $l_p:=l_p^{\mathrm{\infty }}$ ist der Folgenraum der $p$-summierbaren Folgen.
• $\Vert L\Vert$ ist die Operatornorm.
• $|S|$ ist die Kardinalität von $S$.

Aussage

Sei $L:l_2^n\to l_2^n$ ein linearer Operator, so dass für jeden Einheitsvektor $\{e_1,\dots ,e_n\}$ gilt

$\Vert L{e}_j\Vert =1,\mathrm{\forall }j\in \{1,\dots ,n\}$.

Dann existieren universelle Konstanten $c,d>0$ und eine Index-Untermenge $S\subseteq \{1,\dots ,n\}$, welche mindestens

$|S|\ge \frac{cn}{\Vert L{\Vert }^2}$

Indizes hat, so dass für die Norm der Restriktion gilt

${\Vert \sum _{i\in S}{a}_{i}L{e}_i\Vert }^2\ge d\sum _{i\in S}|a_i{|}^2$

wobei $\{a_i{\}}_{i\in S}$ beliebige Skalare sind.

Erläuterungen an einem Beispiel

Sei $L$ eine reelle $n\times n$-Matrix und $L_S$ bezeichnet die Restriktion von $L$ auf die Spalten mit Indizes in $S$

$L_S:=\sum _{i\in S}L{e}_i.$

Es gilt nun für jeden Vektor $a\in {ℝ}^{|S|}$, dass

$\Vert L_{S}a\Vert \ge d\Vert a\Vert .$

Betrachtet man nun den kleinsten Singulärwert (oder allgemeiner die Schatten-Norm)

${\sigma }_{\min }(L_S)=\min {\mathrm{\backslash limits}}_{\Vert x\Vert =1}\Vert L_{S}x\Vert$

dann gilt

${\sigma }_{\min }(L_S)\ge d>0$

und daraus folgt, dass $L_S$ invertierbar ist. Weiter besitzt $L_S$ mindestens $cn/\Vert L{\Vert }^2$ Spalten. Außerdem folgt aus der Konditionsnummer

$\kappa (L_S)=\frac{{\sigma }_{\max }(L_S)}{{\sigma }_{\min }(L_S)},$

dass die Operatornorm der Inversen nach oben beschränkt ist

$\Vert L_S^{-1}\Vert =\frac{\kappa (L_S)}{\Vert L_S\Vert }=\frac{{\sigma }_{\max }(L_S)}{\Vert L_S\Vert {\sigma }_{\min }(L_S)}\le \frac{{\sigma }_{\max }(L_S)}{d^2}=:K.$

Verallgemeinerungen

Es existieren diverse Verallgemeinerungen und verwandte Aussagen (u. a. von Spielman-Srivastava, Vershynin und Naor-Youssef). Zum Beispiel kann die Restriktion der Einheitsvektoren $\Vert L{e}_j\Vert =1$ entfernt werden. Es existiert auch eine Version für unendlichdimensionale Räume.

Bourgain-Tzafriri-Vermutung

Eine Verallgemeinerung ist die Bourgain-Tzafriri-Vermutung (BT-Vermutung), welche äquivalent zum Kadison-Singer-Problem (KS-Problem) ist. Das KS-Problem wurde 2013 positiv gelöst und somit auch die BT-Vermutung.

Formulierung

Sei $L:l_2^n\to l_2^n$ ein linearer Operator, so dass für jeden Einheitsvektor $\{e_1,\dots ,e_n\}$ gilt

$\Vert L{e}_j\Vert =1,\mathrm{\forall }j\in \{1,\dots ,n\}$.

Dann existiert eine universelle Konstante $c>0$, so das für jede positive Zahl $b>0$ mit

$\Vert L\Vert \le b$

ein $m=m(b)\in \mathbb{N}$ und eine Partition $\{I_j{\}}_{j=1}^m$ von $\{1,\dots ,n\}$ existieren, so dass

${\Vert \sum _{i\in I_j}{a}_{i}L{e}_i\Vert }^2\ge c\sum _{i\in I_j}|a_i{|}^2,1\le j\le m$

wobei $\{a_i{\}}_{i\in I_j}$ beliebige Skalare sind.

Literatur

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