Satz von den Ergänzungsparallelogrammen

Der Satz von den Ergänzungsparallelogrammen ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie über die Flächeninhalte von Parallelogrammen.

Formulierung des Satzes

Parallelogramm $𝒫=ABCD$
mit Satz von den Ergänzungsparallelogrammen $F_{{𝒫}_B}=F_{{𝒫}_D}$

Der Satz besagt folgendes:

Gegeben sei ein Parallelogramm $𝒫=ABCD$ der euklidischen Ebene und darin sei $d$ eine der beiden Diagonalen, etwa (oBdA) $d=AC$.

Weiter sei $Z$ ein innerer Punkt von $d$.

Durch $Z$ seien die beiden Parallelen zu den Seiten von $𝒫$ gezogen, welche $𝒫$ in vier Teilparallelogramme unterteilen, wobei $Z$ deren alleiniger gemeinsamer Punkt ist.

Dann gilt:

Die beiden Teilparallelogramme, welche von der Diagonalen $d$ nicht zerlegt werden, also mit $d$ allein den Punkt $Z$ gemeinsam haben, sind ergänzungsgleich und daher von identischem Flächeninhalt.

Herleitung und Erläuterung

Die vier Teilparallelogramme von $𝒫$ seien mit ${𝒫}_A,{𝒫}_B,{𝒫}_C,{𝒫}_D$ bezeichnet. Die Indizierung orientiert sich an den Eckpunkten von $𝒫$. Es ist also ${𝒫}_X$ dasjenige Teilparallelogramm, welches den Eckpunkt   $X$   $(X=A,B,C,D)$   enthält. Folglich sind aus Konvexitätsgründen die beiden Teilparallelogramme, welche mit der Diagonalen   $d$   allein den Punkt $Z$ gemeinsam haben, ${𝒫}_B$ und ${𝒫}_D$, während ${𝒫}_A$ und ${𝒫}_C$ diejenigen beiden Teilparallelogramme seien, welche mit $d$ mehr als einen Punkt gemeinsam haben.

$d$   zerlegt nun $𝒫$ in zwei kongruente Dreiecke, nämlich in $ABC$ und $ACD$, und genauso zerlegt   $d$ sowohl ${𝒫}_A$ als auch ${𝒫}_C$ jeweils in zwei kongruente Dreiecke.

Sind hier nun ${\mathrm{\Delta }}_1$ und ${\mathrm{\Delta }}_2$ die beiden Zerlegungsdreiecke von ${𝒫}_A$ beziehungsweise ${\mathrm{\Delta }}_3$ und ${\mathrm{\Delta }}_4$ die beiden Zerlegungsdreiecke von ${𝒫}_C$ und dabei ${\mathrm{\Delta }}_1$ und ${\mathrm{\Delta }}_3$ innerhalb des Dreiecks $ABC$ beziehungsweise ${\mathrm{\Delta }}_2$ und ${\mathrm{\Delta }}_4$ innerhalb des Dreiecks $ACD$ gelegen, so wird $ABC$ in die drei Flächenstücke ${\mathrm{\Delta }}_1$ und ${\mathrm{\Delta }}_3$ und ${𝒫}_B$ zerlegt und genauso $ACD$ in die drei Flächenstücke ${\mathrm{\Delta }}_2$ und ${\mathrm{\Delta }}_4$ und ${𝒫}_D$  .

Folglich ergeben sich hinsichtlich der Flächeninhalte die Identitäten

(I)   $F_{ABC}=F_{ACD}=\frac{F_{ABCD}}{2}$

(II)   $F_{ABC}=F_{{\mathrm{\Delta }}_1}+F_{{\mathrm{\Delta }}_3}+F_{{𝒫}_B}$

(III)   $F_{ACD}=F_{{\mathrm{\Delta }}_2}+F_{{\mathrm{\Delta }}_4}+F_{{𝒫}_D}$

und daraus wegen der genannten Kongruenzbeziehungen unmittelbar die Identität

(IV)   $F_{{𝒫}_B}=F_{{𝒫}_D}$ .

Dies bedeutet auch:

${𝒫}_B$   und   ${𝒫}_D$ sind ergänzungsgleich.

Denn durch Hinzufügung endlich vieler paarweise kongruenter Vielecke werden aus ${𝒫}_B$   und   ${𝒫}_D$ zwei kongruente Vielecke erhalten, nämlich die beiden Dreiecke   $ABC$   und   $ACD$

Dies beweist den Satz.

Zur Terminologie

Die beiden Teilparallelogramme ${𝒫}_B$   und   ${𝒫}_D$ werden wegen des in dem Satz dargestellten Sachverhalts Ergänzungsparallelogramme genannt. Damit ist auch der Name des Satzes selbst erklärt.

Literatur

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