Satz von Wolstenholme

Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:

Ist $p\ge 5$ eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl

$H(p-1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{p-1}$

einen durch $p^2$ teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).

Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:

• $p=7\text{:}1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{49}{20},$ der Zähler $49=1\cdot 7^2$ ist durch $7^2$ teilbar.
• $p=13\text{:}1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}=\frac{86021}{27720},$ der Zähler $86021=509\cdot 13^2$ ist durch $13^2$ teilbar.

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots +\frac{1}{(p-1{)}^2}$

durch $p$ teilbar ist.

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})\equiv 2mod{p}^3,$

die auch in der Form

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1mod{p}^3$

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Der Zähler von

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{p-1}$

ist durch $p^3$ teilbar.

• Der Zähler von

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{(p-1{)}^2}$

ist durch $p^2$ teilbar.

• Es gilt die Kongruenz

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})\equiv 2mod{p}^4.$

• Es gilt die Kongruenz

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1mod{p}^4.$

• Der Zähler der Bernoulli-Zahl $B_{p-3}$ ist durch $p$ teilbar.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964) und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993). Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 10⁹ sein. Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa $\log (\log (x))$ unterhalb $x$ (McIntosh 1995).

Verwandter Begriff

Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{p-2}$

für eine Primzahl $p\ge 3$, so ist der Zähler genau dann durch $p$ teilbar, wenn die stärkere Form

$2^{p-1}\equiv 1mod{p}^2$

des Satzes von Euler-Fermat gilt. Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Geschichte

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{np-1}{p-1})\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

für jede Primzahl $p$ und jede natürliche Zahl $n.$

Charles Babbage bewies 1819 die Kongruenz

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^2)$

für jede Primzahl $p>2.$

Joseph Wolstenholme bewies 1862 die Kongruenz

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^3)$

für jede Primzahl $p>3.$

Literatur

• G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers. 6. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2008, ISBN 978-0-19-921985-8 (englisch; revidiert von D. R. Heath-Brown und J. H. Silverman).

Weblinks

• The Prime Glossary: Wolstenholme prime (englisch)
• Vorlage:MathWorld