Satz von Vivanti-Pringsheim

In der Mathematik ist der Satz von Vivanti-Pringsheim ein Lehrsatz aus der Funktionentheorie über Singularitäten von Potenzreihen auf dem Rand ihres Konvergenzkreises: Er besagt, dass der positive, reelle Punkt auf dem Rand des Konvergenzkreises bei nichtnegativen, reellen Koeffizienten eine Singularität ist. Ein einfaches Beispiel ist die geometrische Reihe ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n=\frac{1}{1-z}$, die ihre einzige Singularität in $z=1$ hat.

Der Satz wurde 1893 von Giulio Vivanti formuliert und ein Jahr später von Alfred Pringsheim bewiesen. Eine Verallgemeinerung auf Dirichlet-Reihen bewies später Edmund Landau.

Aussage

Sei ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n=f(z)$ eine Potenzreihe mit nichtnegativen, reellen Koeffizienten $a_n$ und positivem Konvergenzradius $R$. Dann ist $z=R$ eine Singularität von $f$.

Literatur

• Remmert-Schumacher: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag 2002, ISBN 978-3-642-56281-5