Satz von Slutsky

Der Satz von Slutsky bzw. das Slutsky-Theorem, entwickelt von Jewgeni Sluzki (E. Slutsky), ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, der die Konvergenz von Zufallsvariablen betrifft. Der Satz von Slutsky spielt in der Anwendung eine wichtige Rolle, da die Parameter einer Verteilung in der Praxis selten bekannt sind und daher geschätzt werden müssen. Der Satz von Slutsky ermöglicht es, die unbekannten Verteilungsparameter durch geschätzte Größen zu ersetzen, die in Wahrscheinlichkeit gegen den wahren Parameter konvergieren.

Theorem

Falls die Folge von Zufallsvariablen $X_n$ für $n$ gegen unendlich gegen die Zufallsvariable $X$ in Verteilung konvergiert und die Folgen von Zufallsvariablen $A_n$ und $B_n$ gegen die Werte $a$ bzw. $b$ in Wahrscheinlichkeit konvergieren, dann konvergiert die Funktion $A_n+B_n{X}_n$ in Verteilung gegen $a+bX$. Kurz:

$A_n+B_n{X}_n\stackrel{𝒟}{\to }a+bX$

Beweisskizze

Der Satz von Slutsky folgt in dieser Form aus drei Beobachtungen:

• Konvergenz in Wahrscheinlichkeit impliziert Konvergenz in Verteilung.

• Wenn $X_n\stackrel{𝒟}{\to }X$ und $A_n\stackrel{\mathbb{P}}{\to }a$ bzw. $B_n\stackrel{\mathbb{P}}{\to }b$, so konvergiert der Zufallsvektor $(X_n,A_n,B_n)$ in Verteilung gegen $(X,a,b)$.
• Nun wendet man den Satz von der stetigen Abbildung auf $g(x,y,z)=y+zx$ an.

Beispiel

Seien $X_1,...,X_n\sim \mathrm{Poi}(\vartheta )$ unabhängige, identisch Poisson-verteilte Zufallsvariablen, wobei $\vartheta >0$. Man möchte nun z. B. ein Konfidenzintervall für $\vartheta$ zum Konfidenzniveau $\gamma =1-\alpha$ herleiten. Dabei wird der Satz von Slutsky helfen. Es gilt zunächst $\sqrt{n}\frac{{\bar{X}}_n-\vartheta }{\sqrt{\vartheta }}\stackrel{𝒟}{\to }𝒩(0,1)$ nach dem zentralen Grenzwertsatz. Also weiter:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{\mathbb{P}}_{\vartheta }(z_{\alpha /2}\le \sqrt{n}\frac{{\bar{X}}_n-\vartheta }{\sqrt{\vartheta }}\le z_{1-\alpha /2})=1-\alpha$

Möchte man nun $z_{\alpha /2}\le \sqrt{n}\frac{{\bar{X}}_n-\vartheta }{\sqrt{\vartheta }}\le z_{1-\alpha /2}$ nach $\vartheta$ auflösen, hat man folgendes Problem: Dass der unbekannte Parameter $\vartheta$ hier sowohl im Zähler, als auch im Nenner vorkommt, was zu einer quadratischen Gleichung führt. Man kann dies aber umgehen, indem man $\vartheta$ durch den Schätzer ${\bar{X}}_n$ ersetzt. Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt $\sqrt{\vartheta /{\bar{X}}_n}\stackrel{\text{f. s.}}{\to }1$. Nun gilt mit dem Satz von Slutsky, dass:

$\sqrt{n}\frac{{\bar{X}}_n-\vartheta }{\sqrt{{\bar{X}}_n}}=\sqrt{n}\frac{{\bar{X}}_n-\vartheta }{\sqrt{\vartheta }}\sqrt{\frac{\vartheta }{{\bar{X}}_n}}\stackrel{𝒟}{\to }𝒩(0,1).$

Es ergibt sich folglich als asymptotisches Konfidenzintervall für $\vartheta$: $[{\bar{X}}_n-\frac{z_{1-\alpha /2}}{\sqrt{n}}\sqrt{{\bar{X}}_n},{\bar{X}}_n+\frac{z_{1-\alpha /2}}{\sqrt{n}}\sqrt{{\bar{X}}_n}]$.

Literatur

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Weblinks

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