Satz von Schinzel

Sei $k=2$, also $n=2k=4$. Dieser Kreis geht durch genau $n=4$ Punkte, gegeben durch den Satz von Schinzel. Er hat den Mittelpunkt $M(\frac{1}{2},0)$ und den Radius $r=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Der Satz von Schinzel gehört zur geometrischen Zahlentheorie und lautet wie folgt:

Für jede natürliche Zahl $n$ gibt es einen Kreis in der Ebene, der durch genau $n$ Gitter­punkte mit ganzzahligen Koordinaten verläuft. Diese Kreise haben die folgende Koordinatengleichung:

${(x-\frac{1}{2})}^2+y^2=\frac{1}{4}\cdot 5^{k-1}$ für gerade $n$ mit $n=2k$

${(x-\frac{1}{3})}^2+y^2=\frac{1}{9}\cdot 5^{2k}$ für ungerade $n$ mit $n=2k+1$

Die so erhaltenen Kreise nennt man Schinzel-Kreise (auf Englisch Schinzel Circle).

Dieser Satz wurde vom polnischen Mathematiker Andrzej Schinzel im Jahr 1958 bewiesen.

Beweis

Schinzel bewies diesen Satz wie folgt:

• Sei $n$ eine gerade Zahl, also $n=2k$. Dann hat der Kreis, der durch genau $n$ Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Koordinatengleichung:

${(x-\frac{1}{2})}^2+y^2=\frac{1}{4}\cdot 5^{k-1}$

Dieser Kreis hat den Mittelpunkt $M(\frac{1}{2}/0)$ und den Radius $r=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{5^{k-1}}$.

Wenn man obige Kreisgleichung mit 4 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung:

$(2x-1{)}^2+(2y{)}^2=5^{k-1}$

Bei dieser Kreisgleichung wird $5^{k-1}$ als Summe zweier Quadrate dargestellt, wobei $(2x-1{)}^2$ als Quadrat einer ungeraden Zahl $2x-1$ sicherlich ungerade und $(2y{)}^2$ als Quadrat einer geraden Zahl $2y$ sicherlich gerade ist. Es gibt genau $4k$ Möglichkeiten, $5^{k-1}$ als Summe zweier Quadrate darzustellen, wegen der Symmetrie ist die Hälfte davon in der Form ungerade–gerade.

• Sei $n$ eine ungerade Zahl, also $n=2k+1$. Dann hat der Kreis, der durch genau $n$ Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Koordinatengleichung:

${(x-\frac{1}{3})}^2+y^2=\frac{1}{9}\cdot 5^{2k}$

Dieser Kreis hat den Mittelpunkt $M(\frac{1}{3}/0)$ und den Radius $r=\frac{1}{3}\cdot 5^k$.

Wenn man obige Kreisgleichung mit 9 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung:

$(3x-1{)}^2+(3y{)}^2=5^{2k}$

Bei dieser Kreisgleichung wird $5^{2k}$ als Summe zweier Quadrate dargestellt.

Eigenschaften

Die Kreise, die Schinzel mit obiger Methode erzeugt hat, sind nicht unbedingt die kleinstmöglichen Kreise, die durch die gegebene Anzahl ganzzahliger Punkte verlaufen. Sie haben aber den Vorteil, dass sie durch eine explizite Formel beschrieben werden können.

Vergleich Schinzel-Kreise – kleinstmögliche Kreise

Die folgende Tabelle gibt für $4\le n\le 12$ die mit obiger Formel berechneten Schinzelkreise an und vergleicht sie mit den tatsächlich kleinsten Kreisen, die durch $n$ Punkte mit ganzzahligen Koordinaten gehen:

n	k	Schinzel-Kreis		kleinstmöglicher Kreis
		Mittelpunkt $M$	Radius $r$	Mittelpunkt $M$	Radius $r$
4	2	$M(\frac{1}{2}/0)$	$r=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,12$	$M(\frac{1}{2}/\frac{1}{2})$	$r=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$
5	2	$M(\frac{1}{3}/0)$	$r=\frac{25}{3}\approx 8,33$	$M(\frac{1}{6}/\frac{1}{6})$	$r=\sqrt{\frac{625}{18}}=\frac{25}{6}\cdot \sqrt{2}\approx 5,89$
6	3	$M(\frac{1}{2}/0)$	$r=\frac{\sqrt{25}}{2}=\frac{5}{2}=2,5$	$M(\frac{1}{2}/0)$	$r=\frac{5}{2}=2,5$
7	3	$M(\frac{1}{3}/0)$	$r=\frac{125}{3}\approx 41,67$	$M(\frac{9}{22}/\frac{5}{22})$	$r=\sqrt{\frac{138125}{242}}=\frac{25}{11}\cdot \sqrt{\frac{221}{2}}\approx 23,89$
8	4	$M(\frac{1}{2}/0)$	$r=\frac{\sqrt{125}}{2}=\frac{5}{2}\cdot \sqrt{5}\approx 5,59$	$M(\frac{1}{2}/\frac{1}{2})$	$r=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\approx 1,58$
9	4	$M(\frac{1}{3}/0)$	$r=\frac{625}{3}\approx 208,33$	$M(\frac{1}{6}/\frac{1}{6})$	$r=\sqrt{\frac{4225}{18}}=\frac{65}{6}\cdot \sqrt{2}\approx 15,32$
10	5	$M(\frac{1}{2}/0)$	$r=\frac{\sqrt{625}}{2}=\frac{25}{2}=12,5$	$M(\frac{1}{2}/0)$	$r=\frac{25}{2}=12,5$
11	5	$M(\frac{1}{3}/0)$	$r=\frac{3125}{3}\approx 1041,67$	$M(\frac{5}{22}/\frac{3}{22})$	$r=\sqrt{\frac{801125}{242}}=\frac{5}{11}\cdot \sqrt{\frac{32045}{2}}\approx 57,54$
12	6	$M(\frac{1}{2}/0)$	$r=\frac{\sqrt{3125}}{2}=\frac{25}{2}\cdot \sqrt{5}=27,95$	$M(\frac{1}{2}/\frac{1}{2})$	$r=\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{5}{2}\cdot \sqrt{2}\approx 3,54$

Wie man erkennen kann, ist für $n=6$ und $n=10$ der Schinzel-Kreis tatsächlich der kleinstmögliche Kreis. Für $n=9$ und $n=11$ ist der Schinzel-Kreis um ein Vielfaches größer als der kleinstmögliche Kreis mit $n$ Punkten mit ganzzahligen Koordinaten.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
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• Ed Pegg Jr.: Lattice Circles, März 2011