Satz von Sárközy

Der Satz von Sárközy ist ein Teilbeweis für Erdős's Quadratfreiheits-Vermutung. Diese besagt, dass der mittlere Binomialkoeffizient

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$

für $n>4$ niemals quadratfrei ist. András Sárközy bewies, dass ein $n_0$ existiert, so dass dies für alle $n>n_0$ zutrifft, was als Satz von Sárközy bekannt ist. Er zeigte weiters 1985, dass

$\ln s(n)\approx (\sqrt{2}-2)\zeta \left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{n}$,

wobei $\zeta$ die Riemannsche Zetafunktion bezeichnet sowie $s(n)$ den quadratischen Anteil von $n$, das heißt, den größten quadratischen Teiler. Die Zahl $2^{8000}$ konnte von Andrew Granville und Olivier Ramaré als obere Schranke für $n_0$ ermittelt werden (1996). In Verbindung mit einem früheren Beweis der Erdős'schen Vermutung für $4<n<2^{774840978}$ war diese somit allgemein bewiesen.