Satz von Ryll-Nardzewski

Vorlage:Dieser Artikel Der Satz von Ryll-Nardzewski ist ein Satz aus der Modelltheorie, einem mathematischen Teilgebiet der Logik. Er charakterisiert $\omega$-kategorische Theorien. Benannt ist er nach dem polnischen Mathematiker Czesław Ryll-Nardzewski.

Satz von Ryll-Nardzewski

Sei $𝒯$ eine vollständige Theorie über einer abzählbaren Sprache. Mit $S_n(T)$ wird der Raum der vollständigen $n$-Typen bezeichnet.

Dann ist äquivalent:

• $𝒯$ ist $\omega$-kategorisch.
• $S_n(T)$ ist für alle $n$ endlich.
• Bis auf $𝒯$-Äquivalenz gibt es für jedes $n$ nur endlich viele Formeln $\varphi (x_1,\dots ,x_n).$

Weitere Äquivalenzen

Unter den gleichen Voraussetzungen wie beim Satz von Ryll-Nardzewski gilt, dass äquivalent ist:

• $𝒯$ ist $\omega$-kategorisch.
• Jedes abzählbare Modell von $𝒯$ ist saturiert.

Beispiele

Dichte Lineare Ordnung ohne Endpunkte

Sei $M$ ein Modell der Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte und

$A=\{a_1,\dots a_n\}\subset M$

und ohne Beschränkung der Allgemeinheit

$i<j\Rightarrow a_i<a_j$

Ein vollständiger Typ über $A$ wird entweder von einer Formel der Form:

${\varphi }_j(x):=x=a_j(1\le j\le n)$

oder der Form

${\varphi }_{i,j}(x):=a_i<x<a_j(1\le i<j\le n)$

erzeugt. Das lässt sich durch Quantorenelimination beweisen.

Die Menge der Typen ist endlich, die Theorie ist also $\omega$-kategorisch.

Theorie mit unendliche vielen Konstantensymbolen

Die Theorie $𝒯$ über der Sprache $\{c_i\mid i<\omega \}$ mit den Axiomen $\{c_i\ne c_j\mid i<j\}$ hat abzählbar viele vollständige 1-Typen: Die von der Formel ${\varphi }_i:=x=c_i$ erzeugten Typen sind die isolierten Typen, der von der Menge $\{x\ne c_i\mid i<\omega \}$ erzeugte Typ ist der einzige nicht-isolierte Typ. Die Theorie ist daher nicht $\omega$-kategorisch. (Sie ist aber ${\omega }_1$-kategorisch.)

Weblinks

• Martin Ziegler: Skript Modelltheorie 1. (PDF; 649 kB)

Literatur

• Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.
• Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2
• Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.