Satz von Rolle

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Ist eine reellwertige Funktion $f$ mit $f(a)=f(b)$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar auf $(a,b)$, so gibt es ein $x_0\in (a,b)$, so dass $f^{\prime }(x_0)=0$ gilt.

Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung.

Der französische Nachname "Rolle" wird ohne "e" ausgesprochen.

Geschichte

Rolle formulierte das nach ihm benannte Theorem 1691 (in seiner Schrift Démonstration d'une méthode pour résoudre les égalitéz de tous les dégrez), allerdings nur für Polynome und rein algebraisch. Benannt wurde der Satz nach Rolle 1834 von Moritz Wilhelm Drobisch, 1860 von Giusto Bellavitis und 1868 in der deutschen Ausgabe von Serrets Vorlesungen über Infinitesimalrechnung (Band 1, S. 216).

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung wurde erstmals von Joseph Louis Lagrange (1797) und erneut von Augustin Louis Cauchy, veröffentlicht 1823 in seinen Vorlesungen über Infinitesimalrechnung (Calcul infinitésimal, Vorlesung 7), bewiesen. Einen expliziten Zusammenhang mit dem Satz von Rolle zog erst Pierre Ossian Bonnet, dargestellt in den Vorlesungen über Infinitesimalrechnung von Joseph Serret 1868 (wobei er Rolle nicht erwähnt). Ein Vorläufer des Satzes von Rolle wurde im astronomischen Werk von Bhaskara II. im 12. Jahrhundert formuliert.

Aussage

Seien $a<b$ und $f:[a,b]\to ℝ$ eine stetige Funktion, die im offenen Intervall $(a,b)$ differenzierbar ist. Erfüllt sie $f(a)=f(b)$, so gibt es eine Stelle $x_0\in (a,b)$ mit

$f^{\prime }(x_0)=0$.

Interpretation

Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion $f$ gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden Funktionswerten mindestens eine Stelle, an der die Steigung gleich null ist. An dieser Stelle liegt die Tangente waagrecht und damit parallel zur x-Achse. Der Satz besagt damit insbesondere, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt. Der Satz von Rolle ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, dieser lässt sich umgekehrt leicht aus dem Satz von Rolle beweisen.

Visualisierungen

• 
  Funktion, die ein Minimum innerhalb des Definitionsbereichs hat. Dort ist die Ableitung gleich null.
• 
  Die Funktion $f$ besitzt im Inneren des Definitionsbereichs nur ein Maximum und kein Minimum. An dieser Stelle ist die Ableitung null.
• 
  Die Funktion $f$ besitzt im Inneren des Definitionsbereichs nur ein Minimum und kein Maximum. An dieser Stelle ist die Ableitung null.
• 
  Wenn die Funktion konstant ist, dann ist die Ableitung überall gleich null.

Beweis

Da $f$ über dem kompakten Intervall $[a,b]$ stetig ist, nimmt sie (nach dem Satz vom Minimum und Maximum) an einer Stelle $m\in [a,b]$ ein Minimum und an einer Stelle $M\in [a,b]$ ein Maximum an. Ist $f$ nicht konstant, so muss wegen $f(a)=f(b)$ mindestens $m\in (a,b)$ oder $M\in (a,b)$ gelten. Diese Extremalstelle sei mit $x_0$ bezeichnet. Ist $f$ konstant, so ist $x_0=\frac{a+b}{2}$ eine Extremalstelle im Inneren des Intervalls $(a,b)$.

Ist die innere Extremalstelle $x_0$ eine Maximalstelle, so folgt aus der Differenzierbarkeit von $f$ an der Stelle $x_0$, dass

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\searrow 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0$

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\nearrow 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0$

Somit ist $f^{\prime }(x_0)=0$.

Ist $x_0$ eine Minimalstelle von $f$, so ist $x_0$ eine Maximalstelle von $-f$ und wir erhalten $-f^{\prime }(x_0)=0$ und somit $f^{\prime }(x_0)=0$.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2