Satz von Motzkin-Taussky

Der Satz von Motzkin-Taussky ist ein Resultat aus der Operator- und Matrizentheorie über die Darstellung einer Summe zweier beschränkter, linearer Operatoren (resp. Matrizen). Der Satz wurde von Theodore Motzkin und Olga Taussky-Todd bewiesen.^[1]

Das Theorem findet Anwendung in der Störungstheorie, wo man u. a. Operatoren der Form

T + x T_{1}

untersucht.

Aussage

Sei $X$ ein endlich-dimensionaler komplexer Vektorraum. Weiter seien $A, B \in B (X)$ so, dass alle Linearkombinationen

T = α A + β B

diagonalisierbar sind für alle $α, β \in ℂ$ . Dann sind alle Eigenwerte von $T$ von der Form

λ_{T} = α λ_{A} + β λ_{B}

(d. h. sie sind linear in $α$ und $β$ ) und $λ_{A}, λ_{B}$ sind unabhängig von der Wahl der $α, β$ .^[2]

Hier steht $λ_{A}$ für einen Eigenwert von $A$ , analog $λ_{B}$ für einen Eigenwert von $B$ .

Bei Motzkin und Taussky heißt die obige Eigenschaft der Linearität der Eigenwerte in $α, β$ L-Eigenschaft.^[3]