Satz von Hellinger-Toeplitz

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt. Ursprünglich wurde der Satz im Sinne von Bilinearformen unendlich vieler Veränderlicher formuliert.

Formulierung

Es seien $H$ ein Hilbertraum und $T:H\to H$ ein symmetrischer linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle $x,y\in H$ die Gleichung

$⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩$

erfüllt. Dann ist $T$ stetig, d. h. beschränkt.

Beweis

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen: Ist $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Nullfolge und $T{x}_n$ konvergent, dann ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }T{x}_n=0$.
Verwendet man die Stetigkeit des Skalarprodukts auf $H$ und setzt $y:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }T{x}_n$, dann folgt

$⟨y,y⟩=⟨\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }T{x}_n,y⟩=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨T{x}_n,y⟩=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨x_n,Ty⟩=⟨\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n,Ty⟩=⟨0,Ty⟩=0,$

also $y=0$.

Folgerungen

• Da der Operator $T$ linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
• Jeder symmetrische, überall auf $H$ definierte Operator ist selbstadjungiert.
• Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

Verallgemeinerung

Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien $H_1$ und $H_2$ Hilberträume und $T:H_1\to H_2$ ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator $S:H_2\to H_1$, der für alle $x\in H_1$ und $y\in H_2$ die Gleichung

$⟨Tx,y{⟩}_{H_2}=⟨x,Sy{⟩}_{H_1}$

erfüllt. Dann sind $T$ und $S$ stetig.

Der Beweis geht analog.

Literatur

Siehe die Einzelnachweise oder Fachbücher der Funktionalanalysis.