Satz von Gromoll-Meyer (Geodäten)

Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie gibt der Satz von Gromoll-Meyer eine (oft erfüllte) Bedingung dafür, wann eine Riemannsche Mannigfaltigkeit unendlich viele geschlossene Geodäten hat. Er wurde von Detlef Gromoll und Wolfgang Meyer bewiesen.

Für eine geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ bezeichne $\mathrm{\Lambda }M$ den freien Schleifenraum mit seiner kanonischen Struktur als Hilbert-Mannigfaltigkeit. Der Satz von Gromoll-Meyer besagt dann: Wenn die Folge der Bettizahlen $b_i(\mathrm{\Lambda }M)$ unbeschränkt ist, dann hat $M$ unendlich viele geschlossene Geodäten.

Die Unbeschränktheit der Folge $b_i(\mathrm{\Lambda }M)$ lässt sich mit Methoden der algebraischen Topologie, insbesondere der rationalen Homotopietheorie untersuchen.

Für unterschiedliche Punkte $p=q$ in einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ war bereits 1951 von Jean-Pierre Serre bewiesen worden, dass es unendlich viele $p$ und $q$ verbindende Geodäten gibt.

Literatur

• D. Gromoll, W. Meyer: Periodic geodesics on compact riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 3 (1969), 493–510.