Satz von Gleason-Kahane-Żelazko

Der Satz von Gleason-Kahane-Żelazko, benannt nach Andrew Gleason, Jean-Pierre Kahane und Wiesław Żelazko, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz charakterisiert die multiplikativen linearen Funktionale auf einer $ℂ$ -Banachalgebra.

Formulierung des Satzes

Seien $A$ eine $ℂ$ -Banachalgebra mit Einselement $e$ und $φ : A \to ℂ$ ein lineares Funktional. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

$φ = 0$ , und $φ$ ist multiplikativ, das heißt, $φ (a b) = φ (a) φ (b)$ für alle $a, b \in A$ .
$φ (e) = 1$ , und $k e r (φ)$ besteht nur aus nicht-invertierbaren Elementen.
$φ (a) \in σ (a)$ für alle $a \in A$ , das heißt, für jedes $a \in A$ liegt $φ (a)$ im Spektrum von $a$

Die Schlüsse $(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3)$ sind sehr einfach. Die nicht-triviale Aussage des Satzes steckt im Schluss $(3) \Rightarrow (1)$ .
Für reelle Banachalgebren ist der Satz im Allgemeinen falsch. Ist $C_{ℝ} ([0, 1])$ die Banachalgebra der stetigen Funktionen $[0, 1] \to ℝ$ und ist $φ : C_{ℝ} ([0, 1]) \to ℝ$ definiert durch $φ (f) : = \int_{0}^{1} f (t) d t$ , so ist $φ$ ein stetiges lineares Funktional. Zu jedem $f \in C_{ℝ} ([0, 1])$ gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ein $t_{0} \in [0, 1]$ mit $φ (f) = \int_{0}^{1} f (t) d t = f (t_{0})$ , und $f (t_{0})$ liegt im Spektrum von $f$ , denn $f - f (t_{0}) \cdot 1$ hat eine Nullstelle, nämlich $t_{0}$ , und ist daher nicht invertierbar. Daher erfüllt $φ$ den dritten Punkt obigen Satzes, nicht aber den ersten, denn das Integrieren ist bekanntlich nicht multiplikativ.

F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2.
Andrew M. Gleason: A characterization of maximal ideals. Journal d’Analyse Mathématique, Band 19 (1967), Seiten 171–172.
Jean-Pierre Kahane, Wiesław Żelazko: A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras. Studia Mathematica, Band 29 (1968), Seiten 339–343.