Satz von Gauß-Lucas

Nullstellen eines Polynoms (schwarz) und die Nullstellen seiner Ableitung (rot) in der komplexen Zahlenebene
$\begin{array}{cc}p(z)=& z^7+(-38-12i)z^6\\ & +(556+390i)z^5\\ & +(-3930-5198i)z^4\\ & +(11595+36880i)z^3\\ & +(15008-140406i)z^2\\ & +(-166180+234010i)z\\ & +234900-76800i\end{array}$$\begin{array}{cc}{p}^{\prime }(z)=& 7z^6+(-228-72i)z^5\\ & +(2780+1950i)z^4\\ & +(-15720-20792i)z^3\\ & +(34785+110640i)z^2\\ & +(30016-280812i)z\\ & -166180+234010i\end{array}$

Der mathematische Satz von Gauß-Lucas gibt eine Beziehung zwischen den Nullstellen eines Polynoms $P$ und dessen Ableitung $P^{\prime }$ an. Die Menge der Nullstellen eines Polynoms ist eine Menge von Punkten in der komplexen Ebene. Der Satz zeigt, dass die Nullstellen der Ableitung $P^{\prime }$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von $P$ liegen. Der Satz von Gauß-Lucas ist nach Carl Friedrich Gauß und Félix Lucas benannt.

Der Satz von Gauß-Lucas

Sei $P$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten und sei $P^{\prime }$ die Ableitung von $P$. Dann liegen alle Nullstellen von $P^{\prime }$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von $P$.

Geschichte

Der Satz wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß 1836 niedergeschrieben, jedoch erst 1879 von Félix Lucas bewiesen.

Stärkere Aussage

Die Nullstellen von $P^{\prime }$ liegen sogar in der konvexen Hülle der Punkte

${\omega }_{jk}=\frac{z_j+(n-1)z_k}{n}$

mit $j,k=1,\dots ,n$ und $j\ne k$, wobei $z_1,\dots ,z_n$ die $n$ Nullstellen von $P$ sind.

Verschärfung von Jensen

Wenn $P$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit reellen Koeffizienten ist, dann liegen alle nicht-reellen Nullstellen der Ableitung $P^{\prime }$ innerhalb der Jensen-Scheiben, die durch alle Paare von komplex konjugierten Nullstellen von $P$ bestimmt sind. Diese Verschärfung des Satzes von Gauß-Lucas wurde 1913 von Johan Ludwig Jensen formuliert und 1920 von Joseph L. Walsh erstmals bewiesen.

Siehe auch

• Satz von Marden

Literatur

• Craig Smorynski: MVT: A Most Valuable Theorem. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-52956-1, S. 411–414

Weblinks

• Lucas–Gauss Theorem von Bruce Torrence, des Wolfram Demonstrations Projects.
• Satz von Gauss-Lucas interaktiv