Satz von Fernique

Der Satz von Fernique ist ein Satz für gaußsche Maße in Banach-Räumen. Der Satz sagt, dass gaußsche Zufallsvariablen in Banach-Räumen exponentialfallende Ränder (tails) besitzen.

Der Satz wurde 1975 von dem französischen Mathematiker Xavier Fernique bewiesen.

Aussage

Sei $(E,\Vert \cdot \Vert )$ ein separabler Banach-Raum und $\mu$ ein beliebiges symmetrisches gaußsches Maß auf $E$.

Seien $\lambda >0$ und $r>0$, so dass

$\log \left(\frac{1-\mu (\bar{B}(0,r))}{\mu (\bar{B}(0,r))}\right)+32\lambda r^2\le -1.$

Dann gilt

$\underset{E}{\int }{e}^{\lambda \Vert x{\Vert }^2}\mu (\mathrm{d}x)\le e^{16\lambda r^2}+\frac{e^2}{e^2-1}.$

Erläuterungen

Die Aussage sagt, dass $e^{\lambda \Vert x{\Vert }^2}$ bezüglich des gaußschen Maßes immer integrierbar ist.

Literatur

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