Satz von Denjoy (Topologie)

Der Satz von Denjoy ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher auf den französischen Mathematiker Arnaud Denjoy zurückgeht. Er behandelt eine grundlegende Zusammenhangseigenschaft der Topologie der reellen Zahlen. Denjoy veröffentlichte ihn 1915.

Formulierung

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien in   $ℝ$   drei kompakte Intervalle   $I_1,I_2,I_3$   .

Dabei sei vorausgesetzt, dass

$\bigcap _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k\in \{1,2,3\}}{}}{I}_k^{\circ }\ne \mathrm{\varnothing }$

gelte, dass also die drei Intervalle mindestens einen gemeinsamen inneren Punkt besitzen.

Dann gilt:

Es gibt unter den drei Intervallen mindestens eines, welches so von den beiden anderen Intervallen überdeckt wird, dass jeder einzelne seiner inneren Punkte zugleich innerer Punkt eines der beiden anderen Intervalle ist.

In Formeln:

$\mathrm{\exists }j\in \{1,2,3\}:(I_j^{\circ }\subseteq \bigcup _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k\in \{1,2,3\}}{k\ne j}}{I}_k^{\circ })$  

Beweis

Die kompakten Intervalle sind von der Form $I_k=[a_k,b_k]$ für $k=1,2,3$. Ihr Inneres ist jeweils $I_k^{\circ }=(a_k,b_k)$.

Sei $i\in \{1,2,3\}$ so dass $a_i=\min (a_1,a_2,a_3)$ und sei $j\in \{1,2,3\}$ so dass $b_j=\max (b_1,b_2,b_3)$. Dann gilt $I_k\subset [a_i,b_j]$ für $k=1,2,3$.

Fall 1: $i=j$. Dann gilt $I_k\subset I_i$ und $I_k^{\circ }\subset I_i^{\circ }$ für $k=1,2,3$.

Fall 2: $i=j$. Nach Voraussetzung gibt es einen gemeinsamen Punkt $z$ im Inneren der drei Intervalle, für den also insbesondere $z\in (a_i,b_i)$ und $z\in (a_j,b_j)$, mithin $a_j<z<b_i$ gilt. Daraus folgt

$I_k\subset [a_i,b_j]=[a_i,z]\cup [z,b_j]\subset [a_i,b_i]\cup [a_j,b_j]=I_i\cup I_j$

für $k=1,2,3$. Für einen inneren Punkt $x\in I_k^{\circ }$ hat man $a_k<x<b_k$ und entweder $x\le z$ oder $x>z$. Im Fall $x\le z$ folgt $a_i\le a_k<x\le z<b_i$ und mithin $x\in I_i^{\circ }$, im Fall $x>z$ folgt $a_j<z<x<b_j$ und mithin $x\in I_j^{\circ }$.

Literatur

• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur