Satz von Cauchy (Geometrie)

Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem, Cauchy`s Oberflächenformel) ist ein Resultat der Integralgeometrie, das auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy zurückgeht und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.

Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt $1/4$.

Der Satz wurde von Cauchy 1841 und 1850 für $n=2,3$ bewiesen und im allgemeinen Fall von T. Kubota, Hermann Minkowski und Tommy Bonnesen.

Beispiele

Für eine Kugel ist die Gültigkeit trivial zu zeigen: das Abbild einer Kugel vom Radius $r$ bei paralleler Projektion in die Ebene ist stets ein Kreis vom gleichen Radius. Damit ist der Flächeninhalt jedes Bildes $\pi r^2$ und damit genau ein Viertel der Kugeloberfläche $4\pi r^2$.

Die folgenden beiden Beispiele sollen lediglich den Sachverhalt verdeutlichen (die Werte in der rechten Spalte schwanken jeweils um den Wert $1/4$):

• Das Bild eines Würfels mit Kantenlänge $a$ ist je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Würfeloberfläche $6a^2$
parallel zu einer Kante	ein Quadrat mit Seitenlänge $a$	$a^2$	$1:6$
parallel zu einer Flächendiagonale	ein Rechteck mit Seitenlängen $a$ und $a\sqrt{2}$	$a^2\sqrt{2}$	$1:3\sqrt{2}\approx 1:4,2$
parallel zu einer Raumdiagonale	ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge $\frac{a}{3}\sqrt{6}$	$a^2\sqrt{3}$	$1:2\sqrt{3}\approx 1:3,5$
andere Richtungen	unregelmäßige (aber punktsymmetrische) Sechsecke	unterschiedlich	unterschiedlich

• Ebenso ist das Bild eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge $a$ je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Tetraederoberfläche $a^2\sqrt{3}$
entlang einer Kante	ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basis $a$ und Höhe $\frac{a}{2}\sqrt{2}$	$\frac{a^2}{4}\sqrt{2}$	$1:2\sqrt{6}\approx 1:4,90$
parallel zu einer Höhe	ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $a$	$\frac{a^2}{4}\sqrt{3}$	$1:4$
normal zu zwei windschiefen Kanten	ein Quadrat mit Seitenlänge $\frac{a}{2}\sqrt{2}$	$\frac{a^2}{2}$	$1:2\sqrt{3}\approx 1:3,46$
andere Richtungen	unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke	unterschiedlich	unterschiedlich

Verallgemeinerung

Im Fall eines konvexen Körpers im $n$-dimensionalen euklidischen Raum ist der Faktor 4 durch $\frac{n{v}_n}{v_{n-1}}$ zu ersetzen, wenn $v_n$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Siehe auch

• Dispersitätsanalyse