Satz von Aoki-Rolewicz

Der Satz von Aoki-Rolewicz ist ein Resultat aus der Funktionalanalysis, welches sagt, dass jede Quasinorm äquivalent zu einer $p$-Norm ist. Dies impliziert, dass quasinormierte Räume metrisierbar sind.

Der Satz wurde unabhängig von Tosio Aoki () und Stefan Rolewicz () bewiesen.

Satz von Aoki-Rolewicz

Vorbereitungen: Quasinorm und p-Norm

Eine Norm $\Vert \cdot \Vert$ auf einem Vektorraum $X$ erfüllt die Dreiecksungleichung

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,\mathrm{\forall }x,y\in X.$

Ersetzt man dieses Axiom durch

• $\mathrm{\exists }K\ge 1$, so dass $\Vert x+y\Vert \le K(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert ),\mathrm{\forall }x,y\in X$, dann erhält man eine Quasinorm. $K$ nennt man auch Modulus der Konkavität.
• $\mathrm{\exists }p\in (0,1]$, so dass $\Vert x+y{\Vert }^p\le \Vert x{\Vert }^p+\Vert y{\Vert }^p,\mathrm{\forall }x,y\in X$, dann erhält man eine $p$-Norm.

Aussage

Sei $\Vert \cdot \Vert$ eine Quasinorm auf $X$ mit Modulus der Konkavität $K$, dann existiert eine äquivalente Quasinorm $\Vert \cdot {\Vert }_{*}$, die auch eine $p$-Norm ist, wobei $2^{1/p-1}=K$ gilt. Weiter ist

$\Vert \cdot {\Vert }_{*}=\inf \{{(\sum _{i=1}^n\Vert x_i{\Vert }^p)}^{1/p}\mid x=\sum _{i=1}^n{x}_i\}.$

Literatur

• Miroslav Pavlović: Function Classes on the Unit Disc: An Introduction, Berlin, Boston: De Gruyter, 2014, https://doi.org/10.1515/9783110281903, (Anhang A. Quasi-Banach spaces)
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